Forme quadratiche e criteri di definitezza

Prerequisiti: Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →, Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →, Segno di una forma bilineare simmetricaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica →.

Dopo il primo ordine, il comportamento locale di $f$ intorno a un punto critico ($\nabla f=\underline 0$) è governato dalla forma quadratica del differenziale secondo: $f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)\approx\frac12\underline h^TH_f(\underline x_0)\underline h$. Se questa è sempre positiva si ha un minimo, sempre negativa un massimo, se cambia segno una sella (Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →). Qui si impara a capire il segno di una forma quadratica.

1. Forme quadratiche

Definizione. Sia $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simmetrica. La forma quadraticapolinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili associata è $q:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $$q(\underline h)=\underline h^TM\underline h=\sum_{i,j=1}^nm_{ij}h_ih_j .$$

È un polinomio omogeneo di secondo grado nelle $h_i$. Per $n=2$, con $M=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$: $q(h,k)=ah^2+2b\,hk+ck^2$. I coefficienti dei termini misti vanno divisi per $2$ per leggere $M$: il polinomio $3h^2-4hk+5k^2$ corrisponde a $M=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}$. Per $n=3$: $q=m_{11}h_1^2+m_{22}h_2^2+m_{33}h_3^2+2m_{12}h_1h_2+2m_{13}h_1h_3+2m_{23}h_2h_3$.

Definizione (segno). La forma $q$ (o la matrice $M$) si dice

• definita positiva se $q(\underline h)>0$ per ogni $\underline h\ne\underline 0$; definita negativa se $q(\underline h)<0$ per ogni $\underline h\ne\underline0$;
• semidefinita positiva se $q(\underline h)\ge0$ per ogni $\underline h$; semidefinita negativa se $q(\underline h)\le0$ per ogni $\underline h$;
• indefinita se esistono $\underline h^1,\underline h^2$ con $q(\underline h^1)>0>q(\underline h^2)$.

Ogni definita è anche semidefinita; la semidefinita non definita si annulla in qualche $\underline h\ne\underline 0$.

Esempi in $\mathbb{R}^2$.

• $M=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$: $q=h^2-k^2$, $q(1,0)=1>0$, $q(0,1)=-1<0$: indefinita. Il grafico $z=h^2-k^2$ è una sella (paraboloide iperbolico).
• $M=\begin{pmatrix}1/a^2&0\\0&1/b^2\end{pmatrix}$: $q=\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}>0$ per $(h,k)\ne\underline0$: definita positiva. Gli insiemi di livello $q=c>0$ sono ellissi di semiassi $a\sqrt c$, $b\sqrt c$; il grafico è un paraboloide a coppa.
• $M=-I$: $q=-(h^2+k^2)$: definita negativa.
• $M=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$: $q=h^2\ge0$ ma $q(0,k)=0$ per $k\ne0$: semidefinita positiva, non definita. Il grafico è un "canale" cilindrico (nessuna curvatura nella direzione $k$).

2. Il caso di due variabili

Teorema (criterio per $n=2$) (D). Sia $M=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$ e $\det M=ac-b^2$.

• $q$ è definita positiva $\iff\det M>0$ e $a>0$.
• $q$ è definita negativa $\iff\det M>0$ e $a<0$.
• $q$ è indefinita $\iff\det M<0$.
• Se $\det M=0$, $q$ è semidefinita (positiva se $a>0$ o $c>0$, negativa se $a<0$ o $c<0$; se $a=c=0$ allora $b=0$ e $M=0$). Se $a=0$ si può usare $c$ al posto di $a$ (stesso enunciato).

Dimostrazione (completamento del quadrato). Sia $a\ne0$. Da $$q(h,k)=a\Big(h^2+\frac{2b}{a}hk\Big)+ck^2=a\Big(h+\frac bak\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{a}\Big)k^2$$ segue l'identità $$\boxed{q(h,k)=a\Big(h+\frac ba\,k\Big)^2+\frac{\det M}{a}\,k^2 .}$$

• Se $a>0$ e $\det M>0$: entrambi i coefficienti sono $>0$; $q\ge0$ e $q=0$ forza $k=0$ (secondo termine) e poi $h=0$ (primo): definita positiva.
• Se $a<0$ e $\det M>0$: entrambi i coefficienti sono $<0$: definita negativa.
• Se $\det M<0$: i due coefficienti $a$ e $\frac{\det M}{a}$ hanno segni opposti; per $k=0$, $h\ne0$ si ha $q=ah^2$ (segno di $a$); per $h=-\frac bak$, $k\ne0$ si ha $q=\frac{\det M}{a}k^2$ (segno opposto): $q$ assume entrambi i segni, indefinita.
• Se $\det M=0$: $q=a\big(h+\frac bak\big)^2$ ha segno di $a$ e si annulla sulla retta $h=-\frac bak$: semidefinita non definita. Se $a=0$: se anche $c\ne0$ si scambiano i ruoli di $h$ e $k$; se $a=c=0$ è $q=2bhk$, $\det M=-b^2<0$ (per $b\ne0$) e $q(1,1)=2b$, $q(1,-1)=-2b$: indefinita. $\blacksquare$

Esempi.

• $q=3h^2-4hk+5k^2$: $a=3>0$, $\det M=15-4=11>0$: definita positiva.
• $q=h^2+4hk+k^2$: $a=1$, $\det M=1-4=-3<0$: indefinita ($q(1,1)=6$, $q(1,-1)=-2$).
• $q=-2h^2+2hk-k^2$: $a=-2<0$, $\det=2-1=1>0$: definita negativa.
• $q=h^2+2hk+k^2=(h+k)^2$: $\det=0$, $a>0$: semidefinita positiva, si annulla su $h=-k$.

3. Il caso generale: gli autovalori

Per le matrici simmetriche reali vale il teorema spettraleUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →: tutti gli autovalorinumeri λ per cui Mw = λw ha soluzioni w non nulle $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ sono reali ed esiste una matrice ortogonale $S$ ($S^TS=I$) con $S^TMS=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$; le colonne di $S$ sono una base ortonormale di autovettori. Inoltre $S$ conserva la norma: $|S\underline k|^2=\underline k^TS^TS\underline k=|\underline k|^2$.

Teorema (segno e autovalori) (D).

• $q$ semidefinita positiva $\iff\lambda_i\ge0$ per ogni $i$; semidefinita negativa $\iff\lambda_i\le0$ per ogni $i$.
• $q$ definita positiva $\iff\lambda_i>0$ per ogni $i$; definita negativa $\iff\lambda_i<0$ per ogni $i$.
• $q$ indefinita $\iff$ esistono un autovalore $>0$ e uno $<0$.

Dimostrazione. Si pone $\underline h=S\underline k$ (cambio di variabile lineare invertibile, $\underline h=\underline0\iff\underline k=\underline 0$). Allora $$q(\underline h)=\underline k^T(S^TMS)\underline k=\sum_{i=1}^n\lambda_ik_i^2 .$$ ($\Leftarrow$) Se tutti i $\lambda_i>0$ e $\underline h\ne\underline0$, esiste un $k_j\ne0$ e $q\ge\lambda_jk_j^2>0$; se $\lambda_i\ge0$ ogni termine è $\ge0$. ($\Rightarrow$) Scelto $\underline h=S\underline e_j$ (non nullo), $q(\underline h)=\lambda_j$: se $q$ è definita positiva allora $\lambda_j>0$; se semidefinita, $\lambda_j\ge0$. Il caso negativo si ottiene applicando il risultato a $-M$. Per l'indefinita: se $\lambda_j>0>\lambda_l$, $q(S\underline e_j)=\lambda_j>0$ e $q(S\underline e_l)=\lambda_l<0$; viceversa, se $q$ è indefinita non può essere né semidefinita positiva né negativa, quindi ci sono autovalori di segno diverso. $\blacksquare$

Corollario (stima). Se $\lambda_{\min}$ e $\lambda_{\max}$ sono il minimo e il massimo autovalore, per ogni $\underline h$ $$\lambda_{\min}|\underline h|^2\le q(\underline h)\le\lambda_{\max}|\underline h|^2 .$$

Dimostrazione. Con $\underline h=S\underline k$: $q=\sum\lambda_ik_i^2$, $\lambda_{\min}\sum k_i^2\le\sum\lambda_ik_i^2\le\lambda_{\max}\sum k_i^2$, e $\sum k_i^2=|\underline k|^2=|\underline h|^2$. $\blacksquare$

In particolare, su $|\underline h|=1$ il minimo di $q$ è $\lambda_{\min}$ e il massimo è $\lambda_{\max}$ (raggiunti sugli autovettori unitari). Se $q$ è definita positiva, $\lambda_{\min}>0$ e $q(\underline h)\ge\lambda_{\min}|\underline h|^2$ è la disuguaglianza che serve per dimostrare che un punto critico con hessiana definita positiva è un minimo (Massimi e minimi liberi e natura dei punti criticiEstremo assoluto = vale in tutto il dominio, relativo = vale in un intorno; "libero" = il dominio è aperto. Fermat (D): in un punto interno di estremo locale dove f è derivabile, ∇f = 0 (punto critico); non basta (x³, −y³, sella x² − y²). Taylor al secondo ordine (D): con f in C² e ∇f(P) = 0, l'Hessiana definita positiva dà minimo locale stretto, definita negativa massimo locale stretto, indefinita sella; per n = 2: det H > 0 e f_xx > 0 minimo, det H > 0 e f_xx < 0 massimo, det H < 0 sella, det H = 0 non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴). Estremi globali: Weierstrass in un chiuso illimitato se f → +∞ (o −∞) all'infinito (D), da verificare in coordinate polari con una stima che non dipende dall'angolo.Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici →).

Per $n=2$ autovalori, traccia e determinante. Per una $2\times2$ simmetrica $\lambda_1\lambda_2=\det M$ e $\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}M=a+c$. Due reali sono entrambi positivi se e solo se prodotto e somma sono positivi: $q$ definita positiva $\iff\det M>0$ e $\operatorname{tr}M>0$ (ed equivalentemente $a>0$: se $\det M=ac-b^2>0$ allora $ac>0$, quindi $a$ e $c$ hanno lo stesso segno, e $a+c>0$ equivale a $a>0$). Definita negativa $\iff\det M>0$ e $\operatorname{tr}M<0$. Indefinita $\iff\det M<0$ (autovalori di segno opposto).

Esempio. $q=3h^2+2hk+3k^2$: $M=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$, $\det(M-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=0$, $\lambda=2,4$; autovettori $(1,-1)$ e $(1,1)$. Definita positiva; su $|\underline h|=1$ il minimo di $q$ è $2$ (in $\pm\frac{(1,-1)}{\sqrt2}$) e il massimo $4$ (in $\pm\frac{(1,1)}{\sqrt2}$).

4. Il caso di tre variabili: minori di Sylvester

Per $n=3$ calcolare gli autovalori richiede un'equazione di terzo grado. Il criterio di Sylvester usa i minori principali di nord-ovest $D_1=m_{11}$, $D_2=\det\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}$, $D_3=\det M$.

Criterio di Sylvester ($n=3$).

• $M$ è definita positiva $\iff D_1>0$, $D_2>0$, $D_3>0$.
• $M$ è definita negativa $\iff D_1<0$, $D_2>0$, $D_3<0$ (i segni si alternano).
• Se $\det M\ne0$ e i minori non rientrano in nessuno dei due schemi, la forma è indefinita (nessun autovalore è nullo e non hanno tutti lo stesso segno).

Con $\det M=0$ si può solo dire che non è definita; per decidere se è semidefinita servono tutti i minori principali (non solo quelli di nord-ovest), oppure gli autovalori. Esempio di cautela: $\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$ ha $D_1=0$, $D_2=0$ ma è semidefinita negativa, non positiva.

Per matrici simmetriche (tutti gli autovalori reali) un altro criterio rapido è il polinomio caratteristico $p(\lambda)=\lambda^3-t\lambda^2+s\lambda-d$, con $t=\operatorname{tr}M$, $s$ la somma dei minori principali $2\times2$ ($m_{11}m_{22}-m_{12}^2$ e simili), $d=\det M$: tutte le radici sono $>0$ se e solo se $t>0$, $s>0$, $d>0$ (regola di Cartesio: radici reali positive $\Leftrightarrow$ coefficienti a segni alterni).

Esempio 1. $M=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$: $D_1=2>0$; $D_2=4-1=3>0$; $D_3=2\cdot(4-1)-1\cdot(2-0)=6-2=4>0$. Definita positiva (gli autovalori sono $2$, $2\pm\sqrt2$, tutti $>0$). Esempio 2. $M=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$: $D_1=1>0$, $D_2=1-4=-3<0$: non definita positiva né negativa; $\det M=-3<0$. Indefinita (autovalori $3,-1,1$). Esempio 3. $M=\begin{pmatrix}-2&1&0\\1&-2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$: $D_1=-2<0$, $D_2=4-1=3>0$, $D_3=3\cdot(-1)=-3<0$: definita negativa (autovalori $-1,-1,-3$).

Errori da evitare

• Dimenticare il fattore $2$ del termine misto quando si legge $M$ da $q$ ($4hk$ corrisponde a $b=2$, non $4$).
• "$\det M>0$ basta": serve anche $a>0$ (o $\operatorname{tr}>0$); con $\det M>0$ e $a<0$ la forma è definita negativa.
• Scambiare semidefinita e definita: $\det M=0$ non dà mai definita.
• Sylvester per $n=3$ con $\det M=0$: non decide la semidefinitezza.

Esercizi svolti

• Esercizio - segno di forme quadratiche in due variabili con parametro (lezione 12)
• Esercizio - forme quadratiche in tre variabili con Sylvester e autovalori (lezione 12)
• Esercizio - minimo e massimo di una forma quadratica sulla circonferenza unitaria (lezione 12)

Domande d'esame

1. Dare le definizioni di forma quadratica definita, semidefinita, indefinita e dimostrare il criterio per $n=2$. Traccia: $q=a(h+\frac bak)^2+\frac{\det M}{a}k^2$ e i quattro casi.
2. Caratterizzare il segno di una forma quadratica con gli autovalori (con dimostrazione). Traccia: teorema spettrale, $\underline h=S\underline k$, $q=\sum\lambda_ik_i^2$, $\underline h=S\underline e_j$.
3. Provare che se $q$ è definita positiva allora $q(\underline h)\ge\lambda_{\min}|\underline h|^2$ con $\lambda_{\min}>0$. Traccia: $\sum\lambda_ik_i^2\ge\lambda_{\min}\sum k_i^2$ e $S$ conserva la norma.