Segno di una forma bilineare simmetrica

Lezione 37 (videolezione n. 37). Prerequisiti: Forme bilineari simmetricheUna forma bilineare simmetrica generalizza il prodotto scalare: si rappresenta con una matrice simmetrica, che cambiando base diventa PᵀAP (matrici congruenti); può essere degenere o no, definita positiva, negativa o indefinita; le definite positive sono i prodotti scalari e per esse vale Gram-Schmidt.Forme bilineari simmetriche → (definizioni di definita, semidefinita, indefinita, degenere), Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →. Esercizi: Esercizio 88 · segno di una forma quadratica con parametro, Esercizio 89 · base ortonormale di autovettori e forma quadratica diagonale. Seguito: Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →.

In tutta la nota $\varphi$ è una forma bilineare simmetrica su $\mathbb{R}^n$ con matrice simmetrica $A$ (rispetto alla base canonica) e forma quadratica $q(x) = x^T A x$.

L'idea: se la matrice è diagonale si legge tutto

Se $A = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$, allora $q(x) = d_1 x_1^2 + \dots + d_n x_n^2$ e il tipo si vede dai segni dei $d_i$:

(Per esempio se $d_1 > 0$ e $d_2 < 0$: $q(e_1) = d_1 > 0$ e $q(e_2) = d_2 < 0$, quindi è indefinita.)

Tutti i metodi che seguono fanno la stessa cosa: trovano una base in cui la forma è diagonale, oppure ricavano i segni dei $d_i$ senza calcolarli. Per questo bisogna prima sapere che il numero di segni non dipende dalla base scelta.

Teorema di Sylvester (legge d'inerzia)

Cambiando base la matrice diventa $P^T A P$ (matrici congruentiUna forma bilineare simmetrica generalizza il prodotto scalare: si rappresenta con una matrice simmetrica, che cambiando base diventa PᵀAP (matrici congruenti); può essere degenere o no, definita positiva, negativa o indefinita; le definite positive sono i prodotti scalari e per esse vale Gram-Schmidt.Forme bilineari simmetriche →), e i numeri sulla diagonale cambiano. Per esempio $\operatorname{diag}(1, 1)$ e $\operatorname{diag}(4, 9)$ sono la stessa forma in due basi diverse (basta prendere la base $\{2e_1, 3e_2\}$). Quello che non cambia è il conteggio dei segni.

Teorema (Sylvester). Per ogni forma bilineare simmetrica reale esiste una base in cui la matrice è $$\operatorname{diag}(\underbrace{1, \dots, 1}_{p}, \underbrace{-1, \dots, -1}_{r}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n - p - r}),$$ e i numeri $p$ e $r$ sono gli stessi in qualunque base che renda la matrice diagonale.

La coppia $(p, r)$ si chiama segnatura della forma; $p + r = \operatorname{rango}(A)$.

• L'esistenza: si trova una base $\varphi$-ortogonale $\{v_1, \dots, v_n\}$ (con il teorema spettrale, o completando i quadrati) e si divide ogni $v_i$ con $\varphi(v_i, v_i) \ne 0$ per $\sqrt{|\varphi(v_i, v_i)|}$: il nuovo valore diagonale diventa $\pm 1$.
• L'unicità (idea): $p$ è la dimensione massima di un sottospazio su cui la forma è definita positiva, quindi è una proprietà della forma e non della base. Su $\langle v_1, \dots, v_p \rangle$ la forma è definita positiva; se ci fosse un sottospazio $U$ più grande con la stessa proprietà, per la formula di GrassmannFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → $U$ intersecherebbe $\langle v_{p+1}, \dots, v_n \rangle$ (dove $q \le 0$) in un vettore non nullo $v$, con $q(v) > 0$ e $q(v) \le 0$ insieme: impossibile.

Quindi il tipo si legge dalla segnatura:

Metodo 1: i segni degli autovalori

Per il teorema spettraleOgni matrice simmetrica reale ha autovalori reali e una base ortonormale di autovettori: con P ortogonale si ha PᵀAP = P⁻¹AP = diagonale.Teorema spettrale e forme quadratiche → esiste una matrice ortogonale $P$ ($P^T = P^{-1}$) con

$$P^T A P = P^{-1} A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n),$$

dove i $\lambda_i$ sono gli autovalori di $A$, tutti reali. Siccome $P^T A P$ è proprio la matrice della forma nella base delle colonne di $P$, la forma diagonale ha gli autovalori sulla diagonale. Quindi:

$p$ = numero di autovalori positivi, $\ r$ = numero di autovalori negativi (contati con molteplicità).

Esempio: $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ ha autovalori $3, -1, -1$: segnatura $(1, 2)$, indefinita.

Attenzione: questo vale perché la $P$ del teorema spettrale è ortogonale. Per una $P$ qualsiasi gli elementi di $P^T A P$ non sono gli autovalori (lo si è visto con $\operatorname{diag}(1,1)$ e $\operatorname{diag}(4,9)$); hanno però gli stessi segni, per Sylvester.

Il difetto del metodo: calcolare gli autovalori richiede di trovare le radici del polinomio caratteristico, che per $n \ge 3$ di solito non sono belle. Il metodo 2 evita di calcolarle.

Metodo 2: la regola dei segni di Cartesio

Regola di Cartesio. Sia $p(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ un polinomio a coefficienti reali con tutte le radici reali. Allora il numero di radici positive (con molteplicità) è uguale al numero di variazioni di segnoSi scrivono i coefficienti in ordine dal grado più alto al più basso, si saltano quelli nulli, e si conta quante volte due coefficienti consecutivi hanno segno opposto. nella successione dei coefficienti.

Per un polinomio qualsiasi la regola dà solo un limite superiore; l'uguaglianza vale perché le radici sono tutte reali, ed è proprio il caso del polinomio caratteristico di una matrice simmetrica.

Come si usa.

1. Si calcola $p_A(x) = \det(xI - A)$ (oppure $\det(A - xI)$: cambia solo il segno complessivo, non le radici e non il numero di variazioni).
2. Si contano le variazioni di segno: sono gli autovalori positivi.
3. Si guarda la potenza più bassa di $x$ con coefficiente non nullo: se $p_A(x) = x^k \cdot (\dots)$ con $(\dots)$ non nullo in $0$, l'autovalore $0$ ha molteplicità $k$.
4. Gli autovalori negativi sono i rimanenti: $r = n - p - k$.

Esempio 1. $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\ p_A(x) = x^3 - 6x^2 + 10x - 4$. Segni: $+, -, +, -$: tre variazioni, tre autovalori positivi. Definita positiva. (Gli autovalori sono $2 - \sqrt2$, $2$, $2 + \sqrt2$.)

Esempio 2. La matrice dell'esempio del metodo 1 ha $p_A(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$. Segni: $+, -, -, -$: una sola variazione, un autovalore positivo; $p_A(0) = -3 \ne 0$, quindi $0$ non è autovalore; i negativi sono $3 - 1 - 0 = 2$. Segnatura $(1, 2)$ ✓.

Esempio 3. $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$, $\ p_A(x) = x^3 - 8x^2 + 6x = x(x^2 - 8x + 6)$. Variazioni in $+, -, +$: due. Manca il termine noto: $0$ è autovalore semplice. Negativi: $3 - 2 - 1 = 0$. Segnatura $(2, 0)$: semidefinita positiva, degenere.

Metodo 3: i minori principali di nord-ovest

I minori principali di nord-ovest (o "di guida") sono i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra:

$$D_1 = a_{11}, \quad D_2 = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad D_n = \det A .$$

Criterio dei minori principali. Sia $A$ simmetrica.

• $\varphi$ è definita positiva $\iff D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_n > 0$.
• $\varphi$ è definita negativa $\iff D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0, \dots$, cioè $(-1)^k D_k > 0$ per ogni $k$ (segni alterni, partendo da $-$).
• Se $\det A \ne 0$ e non si è in nessuno dei due casi precedenti, $\varphi$ è indefinita.
• Se $\det A = 0$ la forma è degenere e il criterio non basta: usare un altro metodo.

Perché funziona. Si applica il procedimento di Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt → con la forma $\varphi$ alla base canonica, supponendo che i minori $D_1, \dots, D_{n-1}$ siano tutti non nulli (è proprio quello che serve perché il procedimento non si blocchi). Si ottengono vettori $v_1, \dots, v_n$ con

$$v_k = e_k + (\text{combinazione di } e_1, \dots, e_{k-1}),$$

cioè la matrice di cambiamento di base $P$ è triangolare superiore con $1$ sulla diagonale, e $P^T A P = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ con $d_k = \varphi(v_k, v_k)$. Ora si guardano i blocchi $k \times k$ in alto a sinistra: siccome $P$ è triangolare, il blocco di $P^TAP$ è $P_k^T A_k P_k$ (con $A_k$, $P_k$ i blocchi di $A$, $P$), e $\det P_k = 1$. Per il teorema di BinetIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →:

$$d_1 d_2 \cdots d_k = \det(P_k^T A_k P_k) = \det A_k = D_k, \qquad \text{quindi} \qquad d_k = \frac{D_k}{D_{k-1}} \quad (D_0 = 1).$$

Ora è tutto chiaro:

• tutti i $D_k > 0$ $\iff$ tutti i $d_k > 0$ $\iff$ definita positiva;
• $D_k$ di segni alterni partendo da $D_1 < 0$ $\iff$ ogni quoziente $D_k / D_{k-1}$ è negativo $\iff$ tutti i $d_k < 0$ $\iff$ definita negativa.

Il caso "$\det A \ne 0$ ma nessuno dei due" dà indefinita perché la forma è non degenere (quindi non semidefinita) e non è definita.

Esempio 1 (stessa matrice del metodo 2): $D_1 = 2$, $D_2 = 4 - 1 = 3$, $D_3 = 4$. Tutti positivi: definita positiva ✓. I valori diagonali dopo Gram-Schmidt sono $d_1 = 2$, $d_2 = \frac32$, $d_3 = \frac43$.

Esempio 2. $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$: $D_1 = -2 < 0$, $D_2 = 2 - 1 = 1 > 0$. Segni $-, +$: definita negativa. (Controllo: $q(x) = -2x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2 = -x_1^2 - (x_1 - x_2)^2 < 0$ per $x \ne 0$.)

Esempio 3. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$: $D_1 = 1$, $D_2 = -3$, $D_3 = 3$. $\det \ne 0$, segni $+, -, +$: né tutti positivi né alterni da $-$. Indefinita ✓.

Il caso $2 \times 2$ diventa una regola da ricordare: per $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$, $\det A = ac - b^2$ è il prodotto dei due autovalori.

Perché il criterio non vale per le semidefinite. Le matrici $\operatorname{diag}(1, 0, 1)$ (semidefinita positiva) e $\operatorname{diag}(1, 0, -1)$ (indefinita) hanno gli stessi minori di nord-ovest: $1, 0, 0$. I minori non bastano a distinguerle. Esiste un criterio per le semidefinite, ma usa tutti i minori principali (quelli ottenuti scegliendo le stesse righe e colonne, non solo in alto a sinistra): $\varphi$ è semidefinita positiva se e solo se sono tutti $\ge 0$. In pratica, nel caso degenere, conviene il metodo 2 o il metodo 4.

Metodo 4: completamento dei quadrati

È la versione "a mano" di Gram-Schmidt: si raccolgono i termini con $x_1$ in un quadrato, poi quelli con $x_2$, e così via. Si ottiene $q$ come combinazione di quadrati di nuove variabili $y_i$ legate alle $x_i$ da un cambio di variabili invertibile; per Sylvester i segni dei coefficienti danno la segnatura.

Esempio. $q(x) = 2x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2 - 2x_2x_3 + 2x_3^2$ (la forma dell'esempio 1).

1. Termini con $x_1$: $2x_1^2 - 2x_1x_2 = 2\left(x_1^2 - x_1x_2\right) = 2\left(x_1 - \frac{x_2}{2}\right)^2 - \frac{x_2^2}{2}$. (Si aggiunge e toglie quello che serve per completare il quadrato: $\left(x_1 - \frac{x_2}{2}\right)^2 = x_1^2 - x_1x_2 + \frac{x_2^2}{4}$.)
2. Restano $2x_2^2 - \frac{x_2^2}{2} - 2x_2x_3 + 2x_3^2 = \frac32 x_2^2 - 2x_2x_3 + 2x_3^2 = \frac32\left(x_2 - \frac23 x_3\right)^2 - \frac23 x_3^2 + 2x_3^2$.
3. Totale: $$q = 2\left(x_1 - \tfrac{x_2}{2}\right)^2 + \tfrac32\left(x_2 - \tfrac23 x_3\right)^2 + \tfrac43 x_3^2 .$$

Coefficienti $2, \frac32, \frac43$: tutti positivi, definita positiva. Sono esattamente i $d_k = D_k / D_{k-1}$ del metodo 3: non è un caso, è lo stesso procedimento.

Se manca un quadrato. In $q = 2x_1x_2$ non c'è $x_1^2$ da cui partire. Si usa $x_1 = y_1 + y_2$, $x_2 = y_1 - y_2$: $q = 2(y_1^2 - y_2^2)$, indefinita. (Più in generale si sceglie una variabile che compare al quadrato; se nessuna compare, si fa questa sostituzione.)

Quale metodo usare

Errori comuni

• "$D_3 < 0$, quindi definita negativa": per la definita negativa serve la successione $-, +, -, \dots$; se $D_1 > 0$ la forma non può mai essere negativa ($q(e_1) = a_{11} > 0$).
• Concludere "semidefinita positiva" perché i minori di nord-ovest sono $\ge 0$: non basta (controesempio $\operatorname{diag}(1, 0, -1)$).
• Applicare Cartesio a un polinomio con radici complesse: la regola conta esattamente le radici positive solo se sono tutte reali; per una matrice simmetrica lo sono, per una qualsiasi no.
• Confondere i numeri diagonali di $P^T A P$ con gli autovalori: lo sono solo se $P$ è ortogonale; in generale hanno solo gli stessi segni.
• Dimenticare il fattore $\frac12$ nella matrice: il termine $2x_1x_2$ dà $a_{12} = a_{21} = 1$.