Lezione 22Inversa con l'aggiunta, Cramer, matrici simili e autovalori

Capitoli 4 e 5: Determinante, Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 22 della playlist ("Lezione 22", 76 min)

Argomenti trattati

1. Formula dell'inversa con la matrice aggiunta.
2. Teorema di Cramer.
3. Matrici simili; autovalori e autovettori: definizione.

Approfondimento: video breve Autovalori e autovettori (esercizio) (n. 47, 21 min) sulle relazioni tra autovalori e autovettori di matrici simili.

Teoria

• Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer → — inversa con l'aggiunta, Cramer, matrici simili
• Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori → — definizioni

Esercizi sugli stessi argomenti

• Esercizio 48 · inversa con la matrice aggiunta e regola di Cramer — aggiunta e Cramer

Lezione precedente: Lezione 21 · Proprietà del determinante, Binet e Laplace · Lezione successiva: Lezione 23 · Polinomio caratteristico, autospazi e molteplicità