Esercizio 41sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025)

Testo (1° compitino del 12 aprile 2025, esercizio 2). Consideriamo il seguente sistema di equazioni, con $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ -2x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ -3x_1 + 5x_2 + 7x_3 + a x_4 = 0 \end{cases}$$

• (a) Scrivere la matrice $A$ del sistema, ridurla in forma a scala per righe e determinare il rango di $A$ al variare di $a \in \mathbb{R}$.
• (b) Determinare la dimensione dello spazio $S$ delle soluzioni di tale sistema al variare di $a \in \mathbb{R}$. Trovare una base di $S$ per il valore di $a$ per cui $\dim S = 1$.
• (c) Consideriamo il vettore $w = (0, 1, -1, b)$. Dire per quali valori di $a$ e $b$ il sistema $AX = w$ ha una soluzione, infinite soluzioni, oppure nessuna soluzione.
• (d) Risolvere il sistema $AX = w$ ponendo $a = 0$ e $b = 1$.

Teoria usata: Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

Strategia

I punti (a), (c) e (d) richiedono tutti la stessa riduzione a scala. Conviene quindi ridurre una volta sola la matrice completa con la colonna $w = (0, 1, -1, b)$: le prime quattro colonne daranno la forma a scala di $A$ (punto a), l'ultima servirà per (c) e (d). Il parametro $a$ è già nell'ultima riga e nell'ultima colonna di $A$, cioè nella posizione più comoda: non serve spostarlo.

(a) Matrice, forma a scala, rango

Ogni riga contiene i coefficienti di un'equazione, ogni colonna quelli di un'incognita (dove un'incognita manca il coefficiente è $0$: per esempio nella prima equazione manca $x_2$):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & -1 & -1 \\ -3 & 5 & 7 & a \end{pmatrix}, \qquad (A \,|\, w) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & -1 & -1 & -1 \\ -3 & 5 & 7 & a & b \end{array}\right)$$

Prima colonna. Il pivot è l'$1$ in alto a sinistra. Per annullare $-2$, $2$, $-3$:

• $R_2 \to R_2 + 2R_1$: $(-2 + 2,\ 1 + 0,\ -1 + 4,\ 2 - 2 \,|\, 1 + 0) = (0, 1, 3, 0 \,|\, 1)$;
• $R_3 \to R_3 - 2R_1$: $(2 - 2,\ -2 - 0,\ -1 - 4,\ -1 + 2 \,|\, -1 - 0) = (0, -2, -5, 1 \,|\, -1)$;
• $R_4 \to R_4 + 3R_1$: $(-3 + 3,\ 5 + 0,\ 7 + 6,\ a - 3 \,|\, b + 0) = (0, 5, 13, a - 3 \,|\, b)$.

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -5 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 13 & a - 3 & b \end{array}\right)$$

Seconda colonna. Pivot: l'$1$ della seconda riga (comodo, niente frazioni). Si usa solo $R_2$:

• $R_3 \to R_3 + 2R_2$: $(0,\ -2 + 2,\ -5 + 6,\ 1 + 0 \,|\, -1 + 2) = (0, 0, 1, 1 \,|\, 1)$;
• $R_4 \to R_4 - 5R_2$: $(0,\ 5 - 5,\ 13 - 15,\ a - 3 - 0 \,|\, b - 5) = (0, 0, -2, a - 3 \,|\, b - 5)$.

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & a - 3 & b - 5 \end{array}\right)$$

Terza colonna. Pivot: l'$1$ della terza riga. $R_4 \to R_4 + 2R_3$: $(0, 0, -2 + 2,\ a - 3 + 2 \,|\, b - 5 + 2) = (0, 0, 0, a - 1 \,|\, b - 3)$.

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a - 1 & b - 3 \end{array}\right)$$

La forma a scala di $A$ è la parte a sinistra della linea:

$$A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a - 1 \end{pmatrix}$$

Rango. Le prime tre righe hanno un pivot ($1$) qualunque sia $a$. La quarta è non nulla se e solo se $a - 1 \ne 0$:

$$\operatorname{rango}(A) = \begin{cases} 4 & \text{se } a \ne 1 \\ 3 & \text{se } a = 1 \end{cases}$$

(b) Dimensione di $S$ e base per $a = 1$

$S$ è l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo $AX = 0$, cioè il nucleo di $X \mapsto AX$. Per la formula delle soluzioni dell'omogeneoUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →:

$$\dim S = n - \operatorname{rango}(A) = 4 - \operatorname{rango}(A) = \begin{cases} 0 & \text{se } a \ne 1 \quad (S = \{0\}) \\ 1 & \text{se } a = 1 \end{cases}$$

Quindi $\dim S = 1$ per $a = 1$. In questo caso la quarta riga di $A'$ è nulla e il sistema omogeneo equivalente è (termini noti tutti $0$, perché il sistema è omogeneo: la colonna $w$ qui non c'entra)

$$\begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$$

I pivot sono nelle colonne $1, 2, 3$: $x_4$ è l'unica incognita libera. Sostituzione all'indietro:

• terza equazione: $x_3 = -x_4$;
• seconda: $x_2 = -3x_3 = -3(-x_4) = 3x_4$;
• prima: $x_1 = -2x_3 + x_4 = 2x_4 + x_4 = 3x_4$.

Ponendo $x_4 = 1$: base di $S$ il vettore $(3, 3, -1, 1)$.

Verifica nel sistema originale con $a = 1$: prima $3 - 2 - 1 = 0$ ✓; seconda $-6 + 3 + 1 + 2 = 0$ ✓; terza $6 - 6 + 1 - 1 = 0$ ✓; quarta $-9 + 15 - 7 + 1 = 0$ ✓.

(c) Discussione di $AX = w$

Si usa la forma a scala della matrice completa trovata al punto (a), con ultima riga $(0, 0, 0, a - 1 \,|\, b - 3)$, e il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

• $a \ne 1$. Il pivot $a - 1$ sta nella colonna di $A$: $\operatorname{rango}(A) = 4$ e anche $\operatorname{rango}(A \,|\, w) = 4$ (la matrice completa ha solo $4$ righe). Ranghi uguali e pari al numero di incognite: una sola soluzione, qualunque sia $b$. (È il caso "$A$ quadrata di rango massimo": $AX = w$ ha soluzione unica per ogni $w$.)
• $a = 1$, $b = 3$. L'ultima riga è tutta nulla, $(0, 0, 0, 0 \,|\, 0)$: $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, w) = 3 < 4$. Infinite soluzioni, dipendenti da $4 - 3 = 1$ parametro.
• $a = 1$, $b \ne 3$. L'ultima riga è $(0, 0, 0, 0 \,|\, b - 3)$ con $b - 3 \ne 0$: è l'equazione $0 = b - 3$, falsa. $\operatorname{rango}(A) = 3$, $\operatorname{rango}(A \,|\, w) = 4$: nessuna soluzione.

Per curiosità, il caso $a = 1$, $b = 3$. Il sistema ridotto è $x_1 + 2x_3 - x_4 = 0$, $x_2 + 3x_3 = 1$, $x_3 + x_4 = 1$. Con $x_4 = t$: $x_3 = 1 - t$, $x_2 = 1 - 3(1 - t) = -2 + 3t$, $x_1 = -2(1 - t) + t = -2 + 3t$. Le soluzioni sono $(-2, -2, 1, 0) + t(3, 3, -1, 1)$: una soluzione particolare più il nucleo $S$ trovato in (b), come deve essere.

(d) Soluzione per $a = 0$, $b = 1$

Si sostituisce nella forma a scala della matrice completa: $a - 1 = -1$ e $b - 3 = -2$.

$$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \end{array}\right) \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{cases} x_1 + 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 + 3x_3 = 1 \\ x_3 + x_4 = 1 \\ -x_4 = -2 \end{cases}$$

Siamo nel caso $a \ne 1$: soluzione unica. Sostituzione all'indietro, dall'ultima equazione:

1. $-x_4 = -2 \Rightarrow x_4 = 2$;
2. $x_3 + 2 = 1 \Rightarrow x_3 = -1$;
3. $x_2 + 3(-1) = 1 \Rightarrow x_2 = 4$;
4. $x_1 + 2(-1) - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$.

$$X = (4, 4, -1, 2).$$

Verifica nel sistema originale con $a = 0$ e termini noti $(0, 1, -1, 1)$:

• $4 + 2(-1) - 2 = 0$ ✓
• $-8 + 4 + 1 + 4 = 1$ ✓
• $8 - 8 + 1 - 2 = -1$ ✓
• $-12 + 20 - 7 + 0 = 1$ ✓

Errori comuni in questo esercizio

• Ridurre due volte (una per $A$ e una per $(A \,|\, w)$): basta ridurre la completa e leggere le prime colonne.
• Nel punto (b) usare la colonna $w$: $S$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo, i termini noti sono $0$.
• Dimenticare il caso $a \ne 1$ nel punto (c): lì la soluzione è unica per ogni $b$, perché il pivot $a - 1$ è nella parte di $A$.