Lezione 9Funzioni lineari, isomorfismi e coordinate

Capitolo 2: Funzioni lineari e matrici · Videolezione: n. 9 della playlist ("Lezione 9", 64 min)

Argomenti trattati

1. Funzioni lineari tra spazi vettoriali: definizione ed esempi; una funzione lineare è determinata dalle immagini di una base.
2. Isomorfismi.
3. Coordinate (componenti) di un vettore rispetto a una base fissata; ogni spazio di dimensione $n$ su $K$ è isomorfo a $K^n$.

Teoria

• Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi → — definizioni, immagini di una base, isomorfismi
• Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base → — coordinate e isomorfismo con $K^n$

Esercizi

• Esercizio 20 · riconoscere le funzioni lineari — esempi delle lezioni 9 e 11

Lezione precedente: Lezione 8 · Esercizi su sottospazi, basi, intersezione e somma · Lezione successiva: Lezione 10 · Nucleo, immagine e teorema nullità più rango