Lezione 26Esponenziale di una matrice ed esercizi

Capitolo 5: Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 26 della playlist ("Lezione 26", 65 min)

Argomenti trattati

1. Esponenziale di una matrice e calcolo con la diagonalizzazione: $e^{Ax} = S\,e^{Dx} S^{-1}$.
2. Soluzione di $Y' = AY$ come $Y = e^{Ax}\bar Y$.
3. Esercizi su sottospazi: base da equazioni, equazioni da generatori, con verifica.

Complemento: i video brevi sulla forma canonica di Jordan (parte 1, parte 2, parte 3), per le matrici non diagonalizzabili; vedi Forma canonica di JordanUna matrice non diagonalizzabile (con autovalori nel campo) è simile a una matrice di Jordan: diagonale a blocchi, con l'autovalore sulla diagonale di ogni blocco e degli 1 subito sopra. Il numero di blocchi di λ è la molteplicità geometrica, la somma delle loro dimensioni quella algebrica; la base si costruisce con catene di autovettori generalizzati.Forma canonica di Jordan →.

Teoria

• Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineariIl sistema di equazioni differenziali y' = Ay ha soluzione y(x) = e^{Ax} ȳ. L'esponenziale di una matrice si definisce con la serie di e^x; per una matrice diagonalizzabile A = S D S⁻¹ vale e^{Ax} = S e^{Dx} S⁻¹, e e^{Dx} ha sulla diagonale gli esponenziali e^{λx} degli autovalori.Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari → — definizione, calcolo, esempio della lezione
• Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi → — esercizi di ripasso

Esercizi

• Esercizio 70 · sistema di equazioni differenziali con l'esponenziale di una matrice — sul metodo della lezione

Lezione precedente: Lezione 25 · Criterio di diagonalizzabilità, matrici simmetriche, sistemi differenziali · Lezione successiva: Lezione 27 · Esercizi su sottospazi, funzioni lineari e matrici