Algebra Lineare e Geometria
Argomenti
1Spazi vettoriali
- Campi
- Spazi vettoriali
- Combinazioni lineari e dipendenza lineare
- Sottospazi vettoriali
- Intersezione, somma e sottospazio generato
- Generatori e basi
- Dimensione
- Formula di Grassmann e somma diretta
- Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi
Esercizi svolti
- Esercizio 1 · dipendenza lineare di vettori in R2 e R3
- Esercizio 2 · sin x, cos x ed ex sono linearmente indipendenti
- Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi
- Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3
- Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3
- Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione
- Esercizio 8 · base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4
- Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4
- Esercizio 10 · sottospazio con un parametro, intersezione e somma
- Esercizio 11 · domande teoriche su dimensione, somma e intersezione (lezione 27)
2Funzioni lineari e matrici
- Funzioni lineari e isomorfismi
- Coordinate rispetto a una base
- Nucleo e immagine
- Matrice associata a una funzione lineare
- Operazioni tra matrici
- Cambiamenti di base
Esercizi svolti
- Esercizio 7 · intersezione e somma con vettori dati in una base
- Esercizio 20 · riconoscere le funzioni lineari
- Esercizio 21 · nucleo e immagine di una funzione da R3 a R2
- Esercizio 22 · nucleo, immagine, antimmagine e restrizione (compitino 12/4/2025)
- Esercizio 23 · nucleo, immagine e antimmagine con un parametro (compitino 10/4/2026)
- Esercizio 24 · nucleo, immagine e immagine di un sottospazio (appello 17/6/2025)
- Esercizio 25 · intersezione tra nucleo e immagine (appello 14/6/2022)
- Esercizio 26 · nucleo, immagine e matrice di una restrizione (appello 3/2/2026)
- Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15)
- Esercizio 28 · matrice rispetto a una base non canonica (appello 8/7/2025)
- Esercizio 29 · domande teoriche su nucleo, immagine e indipendenza lineare (lezione 29)
3Sistemi lineari
Esercizi svolti
- Esercizio 40 · sistema omogeneo, non omogeneo e soluzioni come particolare più nucleo
- Esercizio 41 · sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025)
- Esercizio 42 · rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026)
- Esercizio 43 · rango con parametro e sistemi incompatibili (compitino 2023)
- Esercizio 44 · rango con parametro, righe e colonne, nucleo della trasposta (settembre 2023)
- Esercizio 45 · matrice R tale che RA è a scala, nucleo, immagine e cambio di base
- Esercizio 46 · inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile
4Determinante
5Autovalori e diagonalizzazione
- Autovalori e autovettori
- Diagonalizzazione
- Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari
- Forma canonica di Jordan
Esercizi svolti
- Esercizio 60 · autovalori di tre matrici 2×2
- Esercizio 61 · diagonalizzare una matrice 3×3 con autovalori 1, 2, 3
- Esercizio 62 · matrice 3×3 non diagonalizzabile
- Esercizio 63 · autovalori, nucleo e matrice simmetrica simile (giugno 2022)
- Esercizio 64 · autovalori con parametro e matrici simili (2° appello 2024-25)
- Esercizio 65 · diagonalizzabilità su R e su C e base ortonormale di autovettori (giugno 2025)
- Esercizio 66 · determinante con parametro e matrice simmetrica 4×4 (febbraio 2026)
- Esercizio 67 · autovalori con molteplicità al variare di t (lezione 29)
- Esercizio 68 · endomorfismo dato da polinomio caratteristico e autovettori (lezione 30)
- Esercizio 69 · diagonalizzabilità al variare di h e matrice P (lezione 31)
- Esercizio 70 · sistema di equazioni differenziali con l'esponenziale di una matrice
6Prodotto scalare e ortogonalità
- Prodotto scalare, norma e angoli
- Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali
- Metodo dei minimi quadrati
- Basi ortonormali e Gram-Schmidt
Esercizi svolti
- Esercizio 80 · U⊥ da un'equazione, Gram-Schmidt e vettore di minima distanza
- Esercizio 81 · base ortogonale, U⊥, proiezione e un sottospazio impossibile
- Esercizio 82 · (Im f)⊥ = Ker f per una matrice simmetrica
- Esercizio 83 · U da un sistema, U⊥, proiezioni su U e U⊥
- Esercizio 84 · prodotto scalare tra matrici con la traccia
- Esercizio 85 · dimensione con parametro, U⊥ e vettore con proiezione assegnata
- Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare
- Esercizio 87 · retta dei minimi quadrati per quattro punti
7Forme bilineari e teorema spettrale
8Geometria affine
- Spazi affini, rette e piani
- Distanze e angoli nello spazio affine
- Fasci di piani
- Prodotto vettoriale e prodotto misto
- Coniche e quadriche
Esercizi svolti
- Esercizio 100 · un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021)
- Esercizio 101 · distanza punto-piano e retta parallela a un piano (appello 2/9/2021)
- Esercizio 102 · piani paralleli con parametro e retta intersezione (appello 14/6/2022)
- Esercizio 103 · rette parallele, area di un triangolo e punto simmetrico (appello 7/2/2023)
- Esercizio 104 · rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025)
- Esercizio 105 · una stella di piani per un punto (appello 2/7/2021)
- Esercizio 106 · retta parallela a un piano e intersezione di piani (appello 3/2/2026)
- Esercizio 107 · punto di minima distanza da una retta (appello 8/7/2025)
- Esercizio 108 · un sottospazio affine di A4 (appello 1/2/2022)
- Esercizio 109 · riconoscere una conica e trovarne la forma canonica
Lezioni
- Lezione 1 · Campi e definizione di spazio vettoriale
- Lezione 2 · Esempi di spazi vettoriali e dipendenza lineare
- Lezione 3 · Esercizi sulla dipendenza lineare e sottospazi vettoriali
- Lezione 4 · Intersezione, unione e somma di sottospazi
- Lezione 5 · Generatori, basi e lemma dello scambio
- Lezione 6 · Dimensione, estrarre e completare una base
- Lezione 7 · Basi in dimensione n, formula di Grassmann e somma diretta
- Lezione 8 · Esercizi su sottospazi, basi, intersezione e somma
- Lezione 9 · Funzioni lineari, isomorfismi e coordinate
- Lezione 10 · Nucleo, immagine e teorema nullità più rango
- Lezione 11 · Matrice associata e operazioni tra funzioni lineari
- Lezione 12 · Operazioni tra matrici e trasposta
- Lezione 13 · Esempi ed esercizi sulle matrici associate
- Lezione 14 · Cambiamenti di base
- Lezione 15 · Esercizi sui cambiamenti di base e sistemi lineari
- Lezione 16 · Teorema di Rouché-Capelli ed eliminazione di Gauss
- Lezione 17 · Risoluzione dei sistemi con Gauss e matrici elementari
- Lezione 18 · Esercizi sulla forma a scala e sulle relazioni di dipendenza
- Lezione 19 · Inversa con Gauss e idea di determinante
- Lezione 20 · Permutazioni e definizione del determinante
- Lezione 21 · Proprietà del determinante, Binet e Laplace
- Lezione 22 · Inversa con l'aggiunta, Cramer, matrici simili e autovalori
- Lezione 23 · Polinomio caratteristico, autospazi e molteplicità
- Lezione 24 · Indipendenza degli autovettori e matrici diagonalizzabili
- Lezione 25 · Criterio di diagonalizzabilità, matrici simmetriche, sistemi differenziali
- Lezione 26 · Esponenziale di una matrice ed esercizi
- Lezione 27 · Esercizi su sottospazi, funzioni lineari e matrici
- Lezione 28 · Esercizi su funzioni lineari e matrici
- Lezione 29 · Esercizi su funzioni lineari, autovalori e diagonalizzazione
- Lezione 30 · Esercizi su funzioni lineari e autovalori
- Lezione 31 · Esercizi su autovalori e autovettori
- Lezione 32 · Prodotto scalare, norma, angoli, aree e volumi; il sottospazio ortogonale
- Lezione 33 · Dimensione dell'ortogonale e proiezioni ortogonali
- Lezione 34 · Minimi quadrati, basi ortonormali e Gram-Schmidt
- Lezione 35 · Forme bilineari simmetriche
- Lezione 36 · Matrici congruenti e Gram-Schmidt per le forme bilineari
- Lezione 37 · Segno di una forma bilineare simmetrica
- Lezione 38 · Funzioni lineari simmetriche e teorema spettrale
- Lezione 39 · Spazi affini, sottospazi affini e distanze
- Lezione 40 · Esercizi su rette e piani, distanza punto-iperpiano
- Lezione 41 · Fasci di piani, prodotto vettoriale e prodotto misto
- Lezione 42 · Cenni sulle coniche ed esercizi su prodotti scalari e proiezioni
- Lezione 43 · Esercizi su prodotti scalari e proiezioni ortogonali
- Lezione 44 · Esercizi di geometria affine (1)
- Lezione 45 · Esercizi di geometria affine (2)
- Lezione 46 · Ultima lezione, esercizi di geometria affine