Lezione 3Esercizi sulla dipendenza lineare e sottospazi vettoriali

Capitolo 1: Spazi vettoriali · Videolezione: n. 3 della playlist ("Lezione 3", 74 min)

Argomenti trattati

1. Esercizi sulla dipendenza lineare, anche in spazi di funzioni ($\sin x$, $\cos x$, $e^x$).
2. Sottospazi vettoriali: definizione (chiusura rispetto a somma e prodotto per scalari, presenza di $\vec 0$), esempi e controesempi in $\mathbb{R}^2$.

Teoria

• Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → — esercizi
• Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali → — definizione e test

Esercizi

• Esercizio 2 · sin x, cos x ed e^x sono linearmente indipendenti — esempio della lezione
• Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi — esempi della lezione

Lezione precedente: Lezione 2 · Esempi di spazi vettoriali e dipendenza lineare · Lezione successiva: Lezione 4 · Intersezione, unione e somma di sottospazi