Esercizio 86angoli, aree e volumi con il prodotto scalare

Testo (esercizio costruito sugli argomenti della lezione 32: norma, angolo, aree e volumi tramite la matrice dei prodotti scalari).

1. In $\mathbb{R}^4$ si calcoli l'angolo tra $v = (1, 1, 1, 1)$ e $w = (1, 0, 1, 0)$ e l'area del parallelogramma di lati $v$ e $w$.
2. In $\mathbb{R}^4$ si calcoli l'area del triangolo di vertici $P = (1, 0, 2, 1)$, $Q = (2, 1, 2, 2)$, $R = (1, 1, 3, 0)$.
3. In $\mathbb{R}^3$ si calcoli il volume del parallelepipedo di spigoli $u_1 = (1, 0, 1)$, $u_2 = (0, 1, 1)$, $u_3 = (1, 1, 0)$, sia con la matrice dei prodotti scalari sia con il determinante di $(u_1\ u_2\ u_3)$.

Teoria usata: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →.

1. Angolo e area in $\mathbb{R}^4$

Norme e prodotto scalare

$$v \cdot w = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2, \qquad \|v\| = \sqrt{1 + 1 + 1 + 1} = 2, \qquad \|w\| = \sqrt{1 + 0 + 1 + 0} = \sqrt2 .$$

Angolo

Per la definizione di angolo in $\mathbb{R}^n$Si pone cos α = (v·w)/(‖v‖‖w‖); la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz garantisce che questo numero stia tra −1 e 1.Prodotto scalare, norma e angoli →:

$$\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\,\|w\|} = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \quad \Longrightarrow \quad \alpha = \frac{\pi}{4} \ (45°).$$

Si può interpretare: $w$ "vede" solo la prima e la terza coordinata, dove $v$ e $w$ coincidono; il resto di $v$, cioè $(0, 1, 0, 1)$, è perpendicolare a $w$ e ha la stessa lunghezza $\sqrt 2$ della parte comune. Un triangolo rettangolo isoscele: $45°$.

Area del parallelogramma

Il quadrato dell'area è il determinante della matrice dei prodotti scalari (matrice di Gram):

$$\mathcal{A}^2 = \det \begin{pmatrix} v \cdot v & v \cdot w \\ w \cdot v & w \cdot w \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = 8 - 4 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \mathcal{A} = 2 .$$

Controllo con base × altezza: $\mathcal{A} = \|v\|\,\|w\| \sin \alpha = 2 \cdot \sqrt2 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 2$ ✓.

2. Area di un triangolo in $\mathbb{R}^4$

Il triangolo $PQR$ è metà del parallelogramma di lati $\vec{PQ}$ e $\vec{PR}$ (i vettori che partono dallo stesso vertice $P$):

$$a = Q - P = (1, 1, 0, 1), \qquad b = R - P = (0, 1, 1, -1).$$

Prodotti scalari:

$$a \cdot a = 1 + 1 + 0 + 1 = 3, \qquad b \cdot b = 0 + 1 + 1 + 1 = 3, \qquad a \cdot b = 0 + 1 + 0 - 1 = 0 .$$

$a \cdot b = 0$: i lati $PQ$ e $PR$ sono perpendicolari, il triangolo è rettangolo in $P$.

$$\mathcal{A}_{\text{parall.}}^2 = \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 9, \qquad \mathcal{A}_{\text{parall.}} = 3, \qquad \mathcal{A}_{PQR} = \frac32 .$$

Controllo (triangolo rettangolo: cateto × cateto / 2): $\frac{\|a\|\,\|b\|}{2} = \frac{\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = \frac32$ ✓.

3. Volume di un parallelepipedo in $\mathbb{R}^3$

Con la matrice dei prodotti scalari

$$u_i \cdot u_i = 2 \ \text{per ogni } i, \qquad u_1 \cdot u_2 = 0 + 0 + 1 = 1, \quad u_1 \cdot u_3 = 1 + 0 + 0 = 1, \quad u_2 \cdot u_3 = 0 + 1 + 0 = 1 .$$

$$\mathcal{V}^2 = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = 2(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2) = 6 - 1 - 1 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \mathcal{V} = 2 .$$

(Sviluppo di LaplaceSi sviluppa lungo la prima riga: ogni elemento per il determinante della sottomatrice che resta cancellando riga e colonna, con segni alterni +, −, +.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima riga.)

Con il determinante della matrice dei vettori

Sia $M = (u_1\ u_2\ u_3)$ la matrice con i vettori in colonna:

$$\det M = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = 1(0 - 1) - 0 + 1(0 - 1) = -2, \qquad \lvert \det M \rvert = 2 = \mathcal{V} \ ✓.$$

Perché le due strade coincidono. La matrice dei prodotti scalari è $M^T M$ (l'elemento $(i, j)$ di $M^T M$ è riga $i$ di $M^T$ per colonna $j$ di $M$, cioè $u_i \cdot u_j$). Per il teorema di Binet e perché $\det M^T = \det M$:

$$\det(M^T M) = \det(M^T) \det(M) = (\det M)^2 .$$

Quindi in $\mathbb{R}^3$ (e in generale con $n$ vettori in $\mathbb{R}^n$) il volume è semplicemente $\lvert \det M \rvert$. La matrice dei prodotti scalari serve quando i vettori sono meno della dimensione dello spazio (come nei punti 1 e 2), perché allora $M$ non è quadrata e il suo determinante non esiste.

Errori comuni

• Usare $\det(v\ w)$ in $\mathbb{R}^4$: la matrice $4 \times 2$ non ha determinante; serve la matrice $2 \times 2$ dei prodotti scalari.
• Dimenticare la radice: il determinante della matrice dei prodotti scalari è il quadrato dell'area (o del volume).
• Area del triangolo con i vettori posizione $P, Q, R$ invece che con le differenze $Q - P$, $R - P$.
• Dare un volume negativo: $\det M$ può essere negativo (dipende dall'orientazione), il volume è il suo valore assoluto.