Lezione 25Criterio di diagonalizzabilità, matrici simmetriche, sistemi differenziali

Capitolo 5: Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 25 della playlist ("Lezione 25", 89 min)

Argomenti trattati

1. Criterio di diagonalizzabilità: autovalori nel campo e $m_g = m_a$ per ognuno.
2. Gli autovalori di una matrice simmetrica reale sono reali.
3. Applicazione: risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari con la diagonalizzazione.

Teoria

• DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione → — criterio e matrici simmetriche
• Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineariIl sistema di equazioni differenziali y' = Ay ha soluzione y(x) = e^{Ax} ȳ. L'esponenziale di una matrice si definisce con la serie di e^x; per una matrice diagonalizzabile A = S D S⁻¹ vale e^{Ax} = S e^{Dx} S⁻¹, e e^{Dx} ha sulla diagonale gli esponenziali e^{λx} degli autovalori.Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari → — sistemi differenziali

Esercizi sugli stessi argomenti

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