Lezione 15Esercizi sui cambiamenti di base e sistemi lineari

Capitoli 2 e 3: Funzioni lineari e matrici, Sistemi lineari · Videolezione: n. 15 della playlist ("Lezione 15", 79 min)

Argomenti trattati

1. Esercizi sui cambiamenti di base: la stessa funzione in più coppie di basi.
2. Sistemi di equazioni lineari in forma matriciale $AX = B$.
3. Sistemi omogenei e non omogenei: le soluzioni di $AX = B$ sono una soluzione particolare più il nucleo di $A$.

Teoria

• Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → — esercizi
• Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → — sistemi omogenei e non omogenei

Esercizi

• Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15) — esempio delle lezioni 13 e 15
• Esercizio 40 · sistema omogeneo, non omogeneo e soluzioni come particolare più nucleo — esempio della lezione

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