Esercizio 102piani paralleli con parametro e retta intersezione (appello 14/6/2022)

Testo (1° appello del 14 giugno 2022, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ consideriamo i piani

$$\pi: \ 2x - y + z - 1 = 0, \qquad \sigma_\alpha: \ (\alpha + 2)x - 2y + \alpha z + \alpha = 0 .$$

(a) Determinare il valore di $\alpha$ per cui i piani $\sigma_\alpha$ e $\pi$ sono paralleli. Per tale valore di $\alpha$ calcolare la distanza tra i piani $\pi$ e $\sigma_\alpha$. (b) Determinare il valore di $\alpha$ per cui le rette ortogonali al piano $\sigma_\alpha$ sono parallele al piano $\pi$. (c) Poniamo $\alpha = 0$. Determinare un vettore direttore della retta $r = \pi \cap \sigma_0$. (d) Poniamo $\alpha = 0$. Dato il punto $P = (1, 0, -1) \in \pi$ trovare un punto $S \in \sigma_0$ tale che la retta passante per $P$ e $S$ sia ortogonale a $\pi$.

Teoria usata: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →.

Normali: $n_\pi = (2, -1, 1)$ e $n_\alpha = (\alpha + 2, -2, \alpha)$.

(a) Quando sono paralleli, e a che distanza

Due piani sono paralleli se e solo se le normali sono proporzionali: $n_\alpha = \lambda n_\pi$, cioè

$$\alpha + 2 = 2\lambda, \qquad -2 = -\lambda, \qquad \alpha = \lambda .$$

La seconda dà $\lambda = 2$, la terza $\alpha = 2$, e la prima è verificata ($2 + 2 = 4 = 2 \cdot 2$ ✓). $\alpha = 2$. (Se le tre condizioni non fossero compatibili, nessun valore renderebbe i piani paralleli.)

$$\sigma_2: \ 4x - 2y + 2z + 2 = 0 \iff 2x - y + z + 1 = 0 .$$

Dividendo per $2$ si vede che $\sigma_2$ e $\pi$ hanno la stessa parte $2x - y + z$ e termini noti diversi ($+1$ e $-1$): paralleli e distinti.

Distanza. Si prende un punto qualsiasi di $\sigma_2$, per esempio $R = (0, 1, 0)$ ($0 - 1 + 0 + 1 = 0$ ✓), e se ne calcola la distanza da $\pi$:

$$\operatorname{dist}(\sigma_2, \pi) = \operatorname{dist}(R, \pi) = \frac{|0 - 1 + 0 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{2}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{3} .$$

Con la formula per piani paralleli scritti con la stessa normale: $\frac{|(-1) - (+1)|}{\sqrt6} = \frac{2}{\sqrt6}$ ✓. Attenzione: la formula richiede che le due equazioni abbiano la stessa parte $2x - y + z$; con $\sigma_2$ scritto come $4x - 2y + 2z + 2 = 0$ andrebbe prima diviso per $2$.

(b) Rette ortogonali a $\sigma_\alpha$ parallele a $\pi$

Le rette ortogonali a $\sigma_\alpha$ hanno direzione $n_\alpha$. Una retta è parallela a $\pi$ se la sua direzione è ortogonale alla normale di $\pi$:

$$n_\alpha \cdot n_\pi = 2(\alpha + 2) + 2 + \alpha = 3\alpha + 6 = 0 \iff \alpha = -2 .$$

Equivalentemente: i due piani sono ortogonali (normali ortogonali). Per $\alpha = -2$: $\sigma_{-2}: -2y - 2z - 2 = 0$, normale $(0, -2, -2)$, e $(0, -2, -2) \cdot (2, -1, 1) = 0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

(c) Direzione di $r = \pi \cap \sigma_0$

$\sigma_0: 2x - 2y = 0$, normale $n_0 = (2, -2, 0)$. La retta intersezione sta in entrambi i piani, quindi la sua direzione è ortogonale a entrambe le normali: è il prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →

$$v_r = n_\pi \times n_0 = (2, -1, 1) \times (2, -2, 0) = \big((-1) \cdot 0 - 1 \cdot (-2), \ \ 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0, \ \ 2(-2) - (-1) \cdot 2\big) = (2, 2, -2),$$

o, più semplicemente, $(1, 1, -1)$.

Controllo risolvendo il sistema: da $\sigma_0$, $y = x$; da $\pi$, $z = 1 - 2x + y = 1 - x$. Con $x = t$: $(t, t, 1 - t) = (0, 0, 1) + t(1, 1, -1)$ ✓.

(d) Punto $S \in \sigma_0$ con $PS \perp \pi$

La retta per $P$ ortogonale a $\pi$ ha direzione $n_\pi$: i suoi punti sono $P + t\,n_\pi = (1 + 2t, \ -t, \ -1 + t)$. Il punto $S$ cercato è dove questa retta incontra $\sigma_0$:

$$2(1 + 2t) - 2(-t) = 0 \iff 2 + 6t = 0 \iff t = -\tfrac13 .$$

$$S = \left(1 - \tfrac23, \ \tfrac13, \ -1 - \tfrac13\right) = \left(\tfrac13, \ \tfrac13, \ -\tfrac43\right).$$

Controllo: $S \in \sigma_0$ ($\frac23 - \frac23 = 0$ ✓) e $S - P = \left(-\frac23, \frac13, -\frac13\right) = -\frac13(2, -1, 1)$, proporzionale a $n_\pi$ ✓.

Errori comuni

• Confondere le condizioni di (a) e (b): piani paralleli $\iff$ normali proporzionali; rette ortogonali a $\sigma$ parallele a $\pi$ $\iff$ normali ortogonali.
• Usare la formula della distanza tra piani paralleli senza uniformare le equazioni (stessa normale, non un suo multiplo).
• Prendere come direttore di $r$ una delle due normali: la direzione della retta intersezione è ortogonale a entrambe.