Lezione 11Matrice associata e operazioni tra funzioni lineari

Capitolo 2: Funzioni lineari e matrici · Videolezione: n. 11 della playlist ("Lezione 11", 77 min)

Argomenti trattati

1. Primo esercizio su nucleo e immagine.
2. Matrice associata a una funzione lineare rispetto a basi fissate.
3. Somma di funzioni lineari e somma di matrici; prodotto per uno scalare; lo spazio vettoriale delle matrici.
4. Composizione di funzioni lineari e prodotto di matrici.

Teoria

• Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → — esercizio iniziale
• Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare → — costruzione della matrice
• Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → — somma, prodotto, composizione

Esercizi

• Esercizio 21 · nucleo e immagine di una funzione da R³ a R² — primo esercizio della lezione
• Esercizio 20 · riconoscere le funzioni lineari — esempio della lezione

Lezione precedente: Lezione 10 · Nucleo, immagine e teorema nullità più rango · Lezione successiva: Lezione 12 · Operazioni tra matrici e trasposta