Esercizio 47determinante 4×4 con Laplace e con Gauss

Testo (esempio della lezione 21, ampliato). Calcolare il determinante delle matrici

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix}$$

1. per $A$: con la formula di Laplace lungo due linee diverse e con l'eliminazione di Gauss;
2. per $M$: con Gauss, e con la strategia mista "prima qualche zero con Gauss, poi Laplace".

Teoria usata: Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →, Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →.

Le regole che servono

Per una matrice triangolare il determinante è il prodotto degli elementi diagonali (nella definizione con le permutazioni l'unico termine che non contiene uno zero è quello della diagonale).

Laplace: $\det A = \sum_j (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij}$ lungo la riga $i$ (o la stessa somma su $i$ lungo una colonna), dove $A_{ij}$ è la matrice ottenuta cancellando riga $i$ e colonna $j$. I segni $(-1)^{i+j}$ seguono la scacchiera, con $+$ in alto a sinistra.

1. La matrice $A$

Laplace lungo la terza riga (quella della lezione)

La terza riga $(0, 0, 2, 0)$ ha tre zeri: rimane un solo termine, quello di $a_{33} = 2$ con segno $(-1)^{3+3} = +$. Il conto, svolto nella nota Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, dà

$$\det A = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 = 8 .$$

Laplace lungo la prima colonna (controllo)

La prima colonna $(2, 0, 0, 1)$ ha due zeri: restano i termini di $a_{11} = 2$ (segno $+$) e di $a_{41} = 1$ (segno $(-1)^{4+1} = -$).

$$\det A = +2 \det \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{cancello riga 1, colonna 1}} - 1 \cdot \det \underbrace{\begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}}_{\text{cancello riga 4, colonna 1}} .$$

Ognuno dei due $3 \times 3$ ha una riga con due zeri (la seconda nel primo, la terza nel secondo):

• primo: lungo la seconda riga resta $2 \cdot (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot (0 + 2) = 4$;
• secondo: lungo la terza riga resta $2 \cdot (-1)^{3+2} \det\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2 \cdot (1 - 1) = 0$.

$$\det A = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 0 = 8 \ ✓$$

Il risultato non dipende dalla linea scelta, come garantisce il teorema di Laplace; la scelta influisce solo sulla quantità di conti.

Con l'eliminazione di Gauss

Si porta $A$ in forma triangolare tenendo il conto degli scambi.

1. $R_1 \leftrightarrow R_4$ (pivot $1$ invece di $2$, per evitare frazioni): il determinante cambia segno. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
2. $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1$: $(2, -1, 3, 1) - (2, 4, -2, 0) = (0, -5, 5, 1)$. Non cambia il determinante.
3. $R_4 \leftarrow R_4 + 5R_2$: $(0, -5, 5, 1) + (0, 5, 5, -5) = (0, 0, 10, -4)$.
4. $R_4 \leftarrow R_4 - 5R_3$: $(0, 0, 10, -4) - (0, 0, 10, 0) = (0, 0, 0, -4)$.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}, \qquad \det = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot (-4) = -8 .$$

C'è stato uno scambio, quindi $\det A = -(-8) = 8$ ✓.

2. La matrice $M$

Nessuna riga o colonna ha zeri: Laplace diretto richiederebbe quattro determinanti $3 \times 3$. Conviene Gauss.

Con Gauss

Prima colonna (pivot $1$, nessuno scambio):

• $R_2 - R_1 = (0, 1, 2, 3)$, $\ R_3 - R_1 = (0, 2, 5, 9)$, $\ R_4 - R_1 = (0, 3, 9, 19)$.

Seconda colonna (pivot $1$):

• $R_3 - 2R_2 = (0, 2, 5, 9) - (0, 2, 4, 6) = (0, 0, 1, 3)$;
• $R_4 - 3R_2 = (0, 3, 9, 19) - (0, 3, 6, 9) = (0, 0, 3, 10)$.

Terza colonna (pivot $1$):

• $R_4 - 3R_3 = (0, 0, 3, 10) - (0, 0, 3, 9) = (0, 0, 0, 1)$.

$$M \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det M = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 .$$

Solo operazioni del terzo tipo: il determinante non è mai cambiato.

Strategia mista

Dopo il primo passo di Gauss la prima colonna è $(1, 0, 0, 0)$: tre zeri. Si sviluppa lungo di essa (resta solo $a_{11} = 1$ con segno $+$):

$$\det M = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 & 9 \\ 0 & 3 & 9 & 19 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 9 & 19 \end{pmatrix}.$$

Il $3 \times 3$ lungo la prima riga:

$$1 \cdot (5 \cdot 19 - 9 \cdot 9) - 2 \cdot (2 \cdot 19 - 9 \cdot 3) + 3 \cdot (2 \cdot 9 - 5 \cdot 3) = 1 \cdot 14 - 2 \cdot 11 + 3 \cdot 3 = 14 - 22 + 9 = 1 \ ✓$$

È il modo più comune di procedere a mano: Gauss per creare zeri in una colonna, Laplace per abbassare l'ordine, e si ripete.

Quale metodo scegliere

Errori comuni

• Dimenticare il segno di uno scambio di righe in Gauss.
• Usare $R_i \leftarrow c R_i + R_j$ con $c \ne 1$ senza dividere poi per $c$: moltiplicare la riga che si sta modificando cambia il determinante. Si può fare solo $R_i \leftarrow R_i + c R_j$.
• Sbagliare i segni della scacchiera in Laplace: il segno dipende dalla posizione $(i, j)$, non dal segno dell'elemento.
• Usare la regola di Sarrus per una $4 \times 4$: vale solo per le $3 \times 3$.