Esercizio 84prodotto scalare tra matrici con la traccia

Testo (Appello del 2 settembre 2021, esercizio 3). Nello spazio vettoriale $V = M_2(\mathbb{R})$ delle matrici $2 \times 2$ a coefficienti reali definiamo un prodotto scalare ponendo, per $A, B \in M_2(\mathbb{R})$,

$$A \cdot B = \operatorname{Tr}(A B^T)$$

($\operatorname{Tr}$ indica la traccia di una matrice, cioè la somma degli elementi sulla diagonale principale).

• (a) Calcolare esplicitamente il prodotto scalare delle matrici $\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{pmatrix}$ e verificare che la formula ottenuta è analoga a quella del prodotto scalare usuale in $\mathbb{R}^4$.
• (b) Sia $U$ il sottospazio generato dalle matrici $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$. Trovare una base di $U^\perp$.
• (c) Sia $W = \{A \in M_2(\mathbb{R}) \mid AB = BA\}$, ove $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Trovare una base ortogonale di $W$.

Teoria usata: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →, Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →.

Il senso dell'esercizio. Il prof insiste (lezione 32) che un prodotto scalare non è "naturalmente" presente in uno spazio vettoriale: va aggiunto. Qui lo si aggiunge allo spazio delle matrici, dove a priori "l'angolo tra due matrici" non vuol dire nulla.

(a) La formula esplicita

Prima la trasposta di $B$ (righe e colonne si scambiano): $B^T = \begin{pmatrix} b_1 & b_3 \\ b_2 & b_4 \end{pmatrix}$. Poi il prodotto righe per colonne:

$$A B^T = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & b_3 \\ b_2 & b_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 + a_2 b_2 & a_1 b_3 + a_2 b_4 \\ a_3 b_1 + a_4 b_2 & a_3 b_3 + a_4 b_4 \end{pmatrix}.$$

La traccia somma solo i due elementi diagonali:

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4 .$$

È esattamente il prodotto scalare usuale dei vettori $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ e $(b_1, b_2, b_3, b_4)$ di $\mathbb{R}^4$. In altre parole: se si "srotola" ogni matrice nel vettore delle sue entrate (lette per righe), questo prodotto scalare diventa quello solito. Da qui in poi lavoriamo con i vettori di $\mathbb{R}^4$, usando l'isomorfismo delle coordinateLe coordinate rispetto alla base canonica E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂ identificano la matrice (a₁ a₂; a₃ a₄) con il vettore (a₁, a₂, a₃, a₄).Coordinate rispetto a una base → rispetto alla base canonica di $M_2(\mathbb{R})$.

(b) Base di $U^\perp$

Le due matrici diventano i vettori $(2, 0, 1, -1)$ e $(1, -2, 2, 0)$. Una matrice $X = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$ sta in $U^\perp$ se è ortogonale a entrambe (bastano i generatori):

$$\begin{cases} 2x_1 + x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$$

Due equazioni indipendenti in $4$ incognite: $\dim U^\perp = 2$. Liberi $x_1, x_3$:

• dalla seconda: $x_2 = \frac12 x_1 + x_3$;
• dalla prima: $x_4 = 2x_1 + x_3$.

Con $(x_1, x_3) = (2, 0)$ (il $2$ toglie la frazione): $(2, 1, 0, 4)$; con $(x_1, x_3) = (0, 1)$: $(0, 1, 1, 1)$.

Risultato (b):

$$U^\perp = \left\langle \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle .$$

Controllo: $(2, 1, 0, 4) \cdot (2, 0, 1, -1) = 4 - 4 = 0$ ✓, $\cdot\,(1, -2, 2, 0) = 2 - 2 = 0$ ✓; $(0, 1, 1, 1) \cdot (2, 0, 1, -1) = 1 - 1 = 0$ ✓, $\cdot\,(1, -2, 2, 0) = -2 + 2 = 0$ ✓.

(c) Base ortogonale di $W$

Passo 1: le equazioni di $W$

Con $A = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}$:

$$AB = \begin{pmatrix} 2a_1 + a_2 & -a_1 + 3a_2 \\ 2a_3 + a_4 & -a_3 + 3a_4 \end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 2a_1 - a_3 & 2a_2 - a_4 \\ a_1 + 3a_3 & a_2 + 3a_4 \end{pmatrix}.$$

Uguagliando entrata per entrata:

La (2,2) ripete la (1,1); la (1,2) segue dalle altre (se $a_4 = a_1 + a_3$ allora $a_1 - a_4 = -a_3 = a_2$). Restano $a_2 = -a_3$ e $a_4 = a_1 + a_3$, con $a_1, a_3$ liberi: $\dim W = 2$.

• $(a_1, a_3) = (1, 0)$: $w_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$;
• $(a_1, a_3) = (0, 1)$: $w_2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

(Che $I_2$ stia in $W$ era prevedibile: l'identità commuta con ogni matrice. Anche $B$ stessa sta in $W$: infatti $B = 2w_1 + w_2$.)

Passo 2: Gram-Schmidt

$w_1 \cdot w_2 = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1 \ne 0$: non sono ortogonali. Con $w_1 \cdot w_1 = 2$:

$$w_2' = w_2 - \frac{w_1 \cdot w_2}{w_1 \cdot w_1} w_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - \frac12 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac12 & -1 \\ 1 & \frac12 \end{pmatrix}.$$

Moltiplicando per $2$: $\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Controllo: $I_2 \cdot \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1 + 1 = 0$ ✓ (traccia del prodotto con l'identità = somma della diagonale).

Risultato (c):

$$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right\} .$$

Errori comuni

• Dimenticare la trasposta: $\operatorname{Tr}(AB)$ senza trasporre dà $a_1 b_1 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_4$, che non è un prodotto scalare (per esempio $\operatorname{Tr}(AA)$ può essere negativo).
• Sbagliare l'ordine nel prodotto $AB$ e $BA$: le matrici non commutano, e proprio per questo $W$ non è tutto $M_2(\mathbb{R})$.