Operazioni tra matrici

Fine della lezione 11 e lezione 12 (videolezioni n. 11 e 12). Prerequisito: Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →. Esercizi in cui servono i prodotti: Esercizio 27 · la stessa funzione in tre coppie di basi (lezioni 13 e 15), Esercizio 28 · matrice rispetto a una base non canonica (appello 8/7/2025). Seguito: Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →, Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →.

Notazioni

Una matrice $m \times n$ a coefficienti in $K$ è una tabella di $mn$ numeri disposti su $m$ righe e $n$ colonne; si scrive $A = (a_{ij})$, dove $a_{ij}$ è l'elemento sulla riga $i$ e colonna $j$. L'insieme di queste matrici si indica con $M_{m \times n}(K)$; le matrici quadrate $n \times n$ formano $M_n(K)$.

Casi particolari: una matrice $m \times 1$ è un vettore colonna, una $1 \times n$ è un vettore riga, una $1 \times 1$ è un numero.

Somma e prodotto per uno scalare: lo spazio $M_{m \times n}(K)$

Si fanno elemento per elemento, esattamente come per i vettori:

$$A + B = (a_{ij} + b_{ij}), \qquad \lambda A = (\lambda a_{ij})$$

La somma ha senso solo tra matrici della stessa forma (stesso numero di righe e di colonne). Sono le operazioni che corrispondono a somma di funzioni e prodotto di una funzione per uno scalare (vedi Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →).

Esempio. $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Valgono tutte le proprietà di uno spazio vettorialeUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →: l'elemento neutro è la matrice nulla $0$ (tutti zeri), l'opposta di $A$ è $-A = (-a_{ij})$ (si cambia segno a tutti gli elementi), e così via. Quindi $M_{m \times n}(K)$ è uno spazio vettoriale. Non è una sorpresa: una matrice è una lista di $mn$ numeri, scritta in rettangolo invece che in riga, e si somma come un vettore di $K^{mn}$. Una base è data dalle $mn$ matrici $E_{ij}$ che hanno $1$ al posto $(i, j)$ e $0$ altrove, quindi $\dim M_{m \times n}(K) = mn$.

Il prodotto righe per colonne

Da dove viene: la composizione

Il prodotto non si fa elemento per elemento. Lo si potrebbe definire così, ma non servirebbe a nulla. Il prodotto utile è quello che corrisponde alla composizione di funzioni lineari.

Siano $f : V \to W$ e $g : W \to Z$ lineari, con basi $\mathcal B = \{v_j\}$ di $V$ ($n$ vettori), $\mathcal C = \{w_i\}$ di $W$ ($m$ vettori), $\mathcal D = \{z_h\}$ di $Z$ ($r$ vettori). Siano

$$A = (a_{ij}) = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f), \qquad B = (b_{hi}) = M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g)$$

cioè $f(v_j) = \sum_{i} a_{ij} w_i$ e $g(w_i) = \sum_{h} b_{hi} z_h$. Calcoliamo la matrice $C = (c_{hj})$ della composta $g \circ f : V \to Z$:

$$(g \circ f)(v_j) = g\Big( \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \Big) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \, g(w_i) = \sum_{i=1}^m a_{ij} \sum_{h=1}^r b_{hi} z_h = \sum_{h=1}^r \Big( \sum_{i=1}^m b_{hi} a_{ij} \Big) z_h$$

(secondo passaggio: linearità di $g$; ultimo: si scambia l'ordine delle somme). Per l'unicità delle coordinate il coefficiente di $z_h$ è $c_{hj}$:

$$c_{hj} = \sum_{i=1}^m b_{hi} \, a_{ij} = b_{h1} a_{1j} + b_{h2} a_{2j} + \dots + b_{hm} a_{mj}$$ La matrice $C = BA$ si chiama prodotto di $B$ per $A$, e vale $$M^{\mathcal B}_{\mathcal D}(g \circ f) = M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g) \cdot M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$$

Promemoria: la base $\mathcal C$, in alto in $M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g)$ e in basso in $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$, "si cancella". E l'ordine è quello della composizione: in $g \circ f$ si applica prima $f$, ma la sua matrice si scrive a destra.

Come si calcola

L'elemento al posto $(h, j)$ del prodotto si ottiene prendendo la riga $h$ della prima matrice e la colonna $j$ della seconda, moltiplicando elemento per elemento (primo con primo, secondo con secondo, …) e sommando. Da qui il nome prodotto righe per colonne.

Perché i conti tornino, la riga della prima e la colonna della seconda devono avere la stessa lunghezza:

Il prodotto $BA$ è definito solo se il numero di colonne di $B$ è uguale al numero di righe di $A$. Se $B$ è $r \times m$ e $A$ è $m \times n$, allora $BA$ è $r \times n$ (righe di $B$, colonne di $A$).

$$\underbrace{B}_{r \times m} \ \underbrace{A}_{m \times n} = \underbrace{BA}_{r \times n}$$

Esempio (lezione 12). $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$$

$B$ è $2 \times 3$, $A$ è $3 \times 2$: $3 = 3$, il prodotto si può fare ed è $2 \times 2$. (La somma invece non si può fare: forme diverse.)

• posto $(1,1)$: riga 1 di $B$ per colonna 1 di $A$: $2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 2$;
• posto $(1,2)$: riga 1 per colonna 2: $2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 + 0 \cdot (-2) = 3$;
• posto $(2,1)$: riga 2 per colonna 1: $1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 7$;
• posto $(2,2)$: riga 2 per colonna 2: $1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 5 + 3 \cdot (-2) = -17$.

$$BA = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & -17 \end{pmatrix}$$

Matrice per vettore colonna (il caso di $[f(v)] = A[v]$Fissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →): $$\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 1 + 0 \\ 2 + 1 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}$$ ($2 \times 3$ per $3 \times 1$ dà $2 \times 1$: un vettore colonna).

Vettore riga per matrice ($1 \times 4$ per $4 \times 2$ dà $1 \times 2$, un vettore riga): $$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \\ 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 0 + 6 - 2 & \ 6 + 0 + 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 5 \end{pmatrix}$$

Vettore riga per vettore colonna ($1 \times n$ per $n \times 1$ dà $1 \times 1$, un numero): $$\begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1 y_1 + \dots + x_n y_n$$ È il prodotto scalareIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → che si incontra in fisica: un caso particolare del prodotto di matrici.

Matrici quadrate. In $M_n(K)$ somma e prodotto si possono fare sempre e danno ancora una matrice $n \times n$: è l'ambiente più comodo per lavorare.

Proprietà del prodotto

Cose che NON valgono (a differenza dei numeri)

1. Il prodotto non è commutativo. In generale $AB \ne BA$ (e spesso uno dei due non è nemmeno definito). $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -3 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 14 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$$ Già il primo elemento è diverso: $1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 2$ contro $4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 4$. Il motivo è chiaro: scambiando l'ordine si usano le righe dell'altra matrice. Nei calcoli con le matrici l'ordine dei fattori va sempre rispettato.

2. Esistono matrici non nulle con una potenza nulla (matrici nilpotenti): $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ne 0, \qquad A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Con i numeri $x^2 = 0$ implica $x = 0$; con le matrici no.

3. Non vale la legge di annullamento del prodotto. Da $AB = 0$ non segue $A = 0$ oppure $B = 0$ (l'esempio sopra con $B = A$). Matrici non nulle con prodotto nullo si chiamano divisori dello zero. Per questo le equazioni con le matrici non si risolvono "scomponendo in fattori" come i polinomi.

4. Le formule dei prodotti notevoli cambiano. Sviluppando, e rispettando l'ordine, $$(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2$$ che è uguale a $A^2 + 2AB + B^2$ solo se $AB = BA$. Ogni formula imparata per i numeri che usa (anche di nascosto) la commutatività va ricontrollata.

Cose che valgono (quando i prodotti sono definiti)

L'associatività sembra sorprendente, visto quanto è complicato il prodotto, ma è naturale: la composizione di funzioni è associativa ($(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$, entrambe applicano $f$, poi $g$, poi $h$) e il prodotto di matrici è la composizione.

La matrice identità. L'elemento neutro del prodotto non è la matrice piena di $1$, ma $$I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$$ con $1$ sulla diagonale principale (gli elementi $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$) e $0$ altrove. Il motivo si vede su un $2 \times 2$: perché $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, nel calcolo del posto $(1,1)$ il numero $a$ deve essere moltiplicato per $1$ e $b$ per $0$. $I_n$ è la matrice della funzione identica $\mathrm{id}_V$ quando si usa la stessa base nel dominio e nel codominio.

Matrice inversa. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se esiste $A^{-1}$ con $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n$. Al contrario dei numeri, non basta $A \ne 0$ (la matrice nilpotente sopra non è invertibile: se lo fosse, da $A^2 = 0$ moltiplicando per $A^{-1}$ verrebbe $A = 0$). Quando una matrice è invertibile e come si calcola l'inversa: Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →.

Matrici con forme particolari

La trasposta

La trasposta di $A = (a_{ij}) \in M_{m \times n}(K)$ è la matrice $A^T \in M_{n \times m}(K)$ che ha al posto $(i, j)$ l'elemento $a_{ji}$: le righe di $A$ diventano le colonne di $A^T$.

(Si trova scritta in molti modi: $A^T$, ${}^tA$, $A^t$… il prof stesso non è sempre coerente; una $T$ vicino alla matrice indica la trasposta.)

Esempio. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \end{pmatrix} \ (2 \times 4), \qquad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \\ -2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \ (4 \times 2)$$

Proprietà.

1. $(A^T)^T = A$ (scambiare due volte righe e colonne riporta al punto di partenza);
2. $(A + B)^T = A^T + B^T$ e $(\lambda A)^T = \lambda A^T$ (le operazioni sono elemento per elemento);
3. $(AB)^T = B^T A^T$: la trasposta di un prodotto è il prodotto delle trasposte in ordine inverso.

Dimostrazione della 3. Al posto $(i, j)$: $\big((AB)^T\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_k a_{jk} b_{ki}$. D'altra parte $(B^T A^T)_{ij} = \sum_k (B^T)_{ik} (A^T)_{kj} = \sum_k b_{ki} a_{jk}$. Sono la stessa somma ∎. Anche le dimensioni tornano: se $A$ è $m \times n$ e $B$ è $n \times p$, $B^T A^T$ è ($p \times n$)·($n \times m$), mentre $A^T B^T$ in generale non sarebbe nemmeno definito.

Errori comuni

• Moltiplicare elemento per elemento invece che righe per colonne.
• Cambiare l'ordine dei fattori, per esempio scrivere $BA$ al posto di $AB$, o "semplificare" $A^{-1}BA$ in $B$.
• Non controllare le dimensioni: prima di moltiplicare verificare che colonne della prima = righe della seconda.
• Scrivere $(AB)^T = A^T B^T$: l'ordine si inverte.
• Pensare che $I_n$ sia la matrice con tutti $1$.