Prodotto vettoriale e prodotto misto

Lezione 41, seconda parte (videolezione n. 41). Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →. Usi: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →. Esercizi: Esercizio 100 · un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021), Esercizio 103 · rette parallele, area di un triangolo e punto simmetrico (appello 7/2/2023).

Il prodotto vettoriale esiste solo in $\mathbb{R}^3$ (è una particolarità della dimensione $3$).

Definizione

Il problema. Dati due vettori $v, w \in \mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, lo spazio dei vettori ortogonali a entrambi è $\langle v, w \rangle^\perp$, che ha dimensione $3 - 2 = 1$: una retta per l'origine. Si vuole scegliere su questa retta un vettore preciso.

Definizione. Se $v, w$ sono indipendenti, il prodotto vettoriale $v \times w$ è l'unico vettore tale che

1. $v \times w$ è ortogonale sia a $v$ sia a $w$ (direzione);
2. $\|v \times w\|$ è l'area del parallelogramma di lati $v$ e $w$, cioè $\|v\|\,\|w\| \sin\theta$ con $\theta$ l'angolo tra $v$ e $w$ (lunghezza);
3. la matrice con colonne $v$, $w$, $v \times w$ ha determinante positivo, cioè $\{v, w, v \times w\}$ è orientata come $\{e_1, e_2, e_3\}$ (verso: regola della mano destra).

Se $v, w$ sono dipendenti si pone $v \times w = \vec 0$ (il parallelogramma è schiacciato e ha area $0$).

La formula in componenti

$$v \times w = \det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} = (v_2 w_3 - v_3 w_2, \ \ v_3 w_1 - v_1 w_3, \ \ v_1 w_2 - v_2 w_1).$$

Il "determinante" ha nella prima riga dei vettori invece che numeri: è un modo mnemonico per lo sviluppo di LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima riga, $e_1 \det\begin{pmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{pmatrix} - e_2 \det\begin{pmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{pmatrix} + e_3 \det\begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{pmatrix}$. Attenzione al segno $-$ della seconda componente.

Perché la formula soddisfa la definizione.

• Ortogonalità: $u \cdot (v \times w)$ è lo sviluppo di Laplace del determinante con righe $u, v, w$. Per $u = v$ o $u = w$ il determinante ha due righe uguali ed è $0$.
• Verso: il determinante con righe $v \times w, v, w$ vale $(v \times w) \cdot (v \times w) = \|v \times w\|^2 > 0$ (stessa osservazione con $u = v \times w$).
• Lunghezza: vale l'identità di Lagrange $\|v \times w\|^2 = \|v\|^2\|w\|^2 - (v \cdot w)^2$ (si verifica sviluppando entrambi i membri), e il secondo membro è $\|v\|^2\|w\|^2(1 - \cos^2\theta) = (\|v\|\,\|w\| \sin\theta)^2$.

Esempio. $v = (1, 2, 3)$, $w = (4, 5, 6)$:

$$v \times w = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \ \ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \ \ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (-3, 6, -3).$$

Controlli: $v \cdot (v \times w) = -3 + 12 - 9 = 0$ ✓; $w \cdot (v \times w) = -12 + 30 - 18 = 0$ ✓; Lagrange: $\|v \times w\|^2 = 9 + 36 + 9 = 54$ e $\|v\|^2\|w\|^2 - (v \cdot w)^2 = 14 \cdot 77 - 32^2 = 1078 - 1024 = 54$ ✓.

Sui vettori della base: $e_1 \times e_2 = e_3$, $e_2 \times e_3 = e_1$, $e_3 \times e_1 = e_2$ (permutazioni cicliche), e scambiando l'ordine cambia il segno: $e_2 \times e_1 = -e_3$.

Proprietà

L'anticommutatività viene dal determinante (scambiare due righe cambia segno). Il criterio "nullo sui dipendenti" è un modo veloce per controllare se due vettori di $\mathbb{R}^3$ sono proporzionali.

Il prodotto misto

Definizione. Il prodotto misto di $u, v, w \in \mathbb{R}^3$ è il numero $$u \cdot (v \times w) = \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.$$

(Lo si è già visto nella dimostrazione dell'ortogonalità: è lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga.)

Significato geometrico. $|u \cdot (v \times w)|$ è il volume del parallelepipedo di spigoli $u, v, w$: la base è il parallelogramma di $v, w$ (area $\|v \times w\|$) e l'altezza è la componente di $u$ lungo la direzione perpendicolare alla base, cioè $\frac{|u \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|}$. Il segno dice l'orientazione.

Conseguenze.

• $u, v, w$ sono complanari (linearmente dipendenti) se e solo se il prodotto misto è $0$.
• Quattro punti $A, B, C, D$ stanno su uno stesso piano se e solo se $\det(B - A, C - A, D - A) = 0$.
• Il volume del tetraedro $ABCD$ è $\frac16 |\det(B - A, C - A, D - A)|$ (un sesto del parallelepipedo).

Applicazioni in geometria affine

1. Normale a un piano per tre punti. $n = (B - A) \times (C - A)$, poi si impone il passaggio per $A$. Esempio: $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$: $(-1, 2, 0) \times (-1, 0, 3) = (6 - 0, \ 0 + 3, \ 0 + 2) = (6, 3, 2)$, e il piano è $6x + 3y + 2z = 6$.

2. Direzione della retta intersezione di due piani. È ortogonale a entrambe le normali: $v = n_1 \times n_2$. Esempio: $x + y - z = 1$ e $x - y = 3$: $(1, 1, -1) \times (1, -1, 0) = (0 - 1, \ -1 - 0, \ -1 - 1) = (-1, -1, -2)$, proporzionale a $(1, 1, 2)$, come trovato risolvendo il sistema in Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →.

3. Area di un triangolo. $\text{Area}(ABC) = \frac12 \|(B - A) \times (C - A)\|$ (metà del parallelogramma). Per il triangolo dell'esempio 1: $\frac12\|(6, 3, 2)\| = \frac12\sqrt{36 + 9 + 4} = \frac72$.

4. Volume. Il tetraedro di vertici $O = (0, 0, 0)$, $A$, $B$, $C$ dell'esempio 1 ha volume $\frac16 |\det(A, B, C)| = \frac16 \cdot |1 \cdot 2 \cdot 3| = 1$ (la matrice è diagonale).

5. Distanza tra rette sghembe. $d(r, s) = \frac{|(Q - P) \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|}$ (vedi Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →): volume del parallelepipedo diviso per l'area della base.

6. Piano per un punto parallelo a due direzioni. Normale $u_1 \times u_2$.

Errori comuni

• Sbagliare il segno della seconda componente: è $v_3 w_1 - v_1 w_3$, non $v_1 w_3 - v_3 w_1$.
• Scambiare l'ordine dei fattori quando il verso conta (per le normali di solito non conta: $-n$ va bene quanto $n$).
• Usare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^4$: è definito solo in $\mathbb{R}^3$. In $\mathbb{R}^4$ per trovare un vettore ortogonale si risolve un sistema.
• Applicare la proprietà associativa: $u \times (v \times w) \ne (u \times v) \times w$ in generale.