Esercizio 48inversa con la matrice aggiunta e regola di Cramer

Testo (esercizio sui metodi della lezione 22).

1. Calcolare l'inversa di $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ con la formula della matrice aggiunta, e confrontarla con quella trovata con Gauss-Jordan nell'Esercizio 46 · inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile.
2. Risolvere con la regola di Cramer il sistema $AX = b$, con $b = (1, 3, 1)$.
3. Discutere al variare di $k \in \mathbb{R}$ il sistema $\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = 1 \end{cases}$, usando Cramer dove si può.

Teoria usata: Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →, Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

1. Inversa con la matrice aggiunta

La formula. Se $\det A \ne 0$:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\, A^*, \qquad A^* = (\text{matrice dei complementi algebrici})^T,$$

dove il complemento algebrico di $a_{ij}$ è $a^*_{ij} = (-1)^{i+j} \det A_{ij}$ ($A_{ij}$ = $A$ senza riga $i$ e colonna $j$). Il motivo: per Laplace, $\sum_j a_{ij} a^*_{kj}$ vale $\det A$ se $k = i$ (è lo sviluppo lungo la riga $i$) e $0$ se $k \ne i$ (è lo sviluppo di una matrice con due righe uguali); in formula $A \cdot A^* = (\det A)\, I$.

Determinante: $\det A = -9$ (calcolato nell'Esercizio 46).

I nove complementi algebrici. Per ognuno: si cancellano riga e colonna, si calcola il $2 \times 2$ rimasto, si mette il segno della scacchiera $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

Controllo intermedio (gratuito): la prima riga di $A$ per i complementi della prima riga deve dare $\det A$: $2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 2 = -9$ ✓.

Trasposizione. La matrice dei complementi è $\begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & -4 \\ -2 & -4 & 1 \end{pmatrix}$; l'aggiunta è la sua trasposta:

$$A^* = \begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & -4 \\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{-9} A^* = \frac19\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}.$$

È la stessa matrice trovata con Gauss-Jordan nell'Esercizio 46 ✓ (l'inversa è unica, quindi i due metodi devono coincidere).

Quale metodo usare. Per una $3 \times 3$ servono $9$ determinanti $2 \times 2$ più uno $3 \times 3$: si fa. Per una $4 \times 4$ servirebbero $16$ determinanti $3 \times 3$: meglio Gauss-Jordan. La formula dell'aggiunta è preziosa soprattutto quando serve un solo elemento dell'inversa: $(A^{-1})_{ij} = a^*_{ji} / \det A$ (attenzione agli indici scambiati).

2. Cramer per $AX = b$, $b = (1, 3, 1)$

La regola. Se $\det A \ne 0$, l'unica soluzione è $x_j = \Delta_j / \det A$, dove $\Delta_j$ è il determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna $j$ di $A$ con $b$.

$$\Delta_1 = \det\begin{pmatrix} \mathbf{1} & -1 & 0 \\ \mathbf{3} & 0 & 2 \\ \mathbf{1} & 2 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (0 - 4) - (-1)(-3 - 2) + 0 = -4 - 5 = -9,$$

$$\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 2 & \mathbf{1} & 0 \\ 1 & \mathbf{3} & 2 \\ 0 & \mathbf{1} & -1 \end{pmatrix} = 2(-3 - 2) - 1 \cdot (-1 - 0) + 0 = -10 + 1 = -9,$$

$$\Delta_3 = \det\begin{pmatrix} 2 & -1 & \mathbf{1} \\ 1 & 0 & \mathbf{3} \\ 0 & 2 & \mathbf{1} \end{pmatrix} = 2(0 - 6) - (-1)(1 - 0) + 1 \cdot (2 - 0) = -12 + 1 + 2 = -9$$

(tutti sviluppati lungo la prima riga).

$$x_1 = \frac{-9}{-9} = 1, \qquad x_2 = \frac{-9}{-9} = 1, \qquad x_3 = \frac{-9}{-9} = 1 .$$

Verifica: $A(1, 1, 1)^T = (2 - 1 + 0, \ 1 + 0 + 2, \ 0 + 2 - 1) = (1, 3, 1) = b$ ✓.

Collegamento con l'inversa: $X = A^{-1} b = \frac19 (4 + 3 + 2, \ -1 + 6 + 4, \ -2 + 12 - 1) = \frac19(9, 9, 9) = (1, 1, 1)$ ✓. Cramer è proprio la formula $X = \frac{1}{\det A} A^* b$ scritta componente per componente: $(A^* b)_j$ è lo sviluppo di $\Delta_j$ lungo la colonna $j$.

3. Il sistema con parametro $k$

$$A_k = \begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix}, \qquad \det A_k = k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1).$$

Caso $k \ne \pm 1$ ($\det A_k \ne 0$): Cramer si applica e la soluzione è unica.

$$\Delta_x = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} = k - 1, \qquad \Delta_y = \det\begin{pmatrix} k & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = k - 1,$$

$$x = y = \frac{k - 1}{(k - 1)(k + 1)} = \frac{1}{k + 1} .$$

(La semplificazione per $k - 1$ è lecita perché si è supposto $k \ne 1$.) Verifica: $k \cdot \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+1} = \frac{k + 1}{k + 1} = 1$ ✓.

Caso $k = 1$: Cramer non si applica ($\det = 0$). Il sistema diventa $x + y = 1$ due volte: rango della matrice e della completa uguali a $1$, infinite soluzioni $(x, 1 - x)$, con $x$ libero.

Caso $k = -1$: il sistema è $-x + y = 1$, $x - y = 1$. Sommando: $0 = 2$, impossibile. Rango della matrice $1$, della completa $2$: nessuna soluzione.

Osservazione. Per $k = 1$ si ha $\Delta_x = \Delta_y = 0$ e infinite soluzioni; per $k = -1$ si ha $\Delta_x = \Delta_y = -2 \ne 0$ e nessuna soluzione. Ma non è una regola da usare: quando $\det A = 0$ i $\Delta_j$ non bastano in generale a decidere, e bisogna passare a Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

Errori comuni

• Dimenticare di trasporre la matrice dei complementi algebrici: senza trasposta si ottiene $(A^{-1})^T$, che è sbagliata se $A$ non è simmetrica.
• Dimenticare i segni della scacchiera nei complementi algebrici.
• Usare Cramer con $\det A = 0$: la formula non ha senso (si dividerebbe per zero).
• Sostituire con $b$ una riga invece di una colonna nei $\Delta_j$.