Esercizio 46inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile

Testo (esercizio costruito sulle matrici di due temi d'esame: 4° appello del 7 febbraio 2023, esercizio 1(a), e appello del 4 febbraio 2025, esercizio 3(a)).

1. Stabilire se $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ è invertibile e, in caso affermativo, calcolarne l'inversa con il metodo di Gauss-Jordan.
2. Mostrare che $B_\alpha = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ \alpha & 1 - \alpha & -\alpha \\ -\alpha & \alpha - 1 & \alpha \end{pmatrix}$ non è invertibile per nessun $\alpha \in \mathbb{R}$, e vedere che cosa succede applicando lo stesso metodo.

Teoria usata: Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →, Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →.

1. Inversa di $A$

È invertibile? Una matrice quadrata è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Sviluppando lungo la prima riga:

$$\det A = 2 \det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - (-1) \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + 0 = 2(0 - 4) + (-1 - 0) = -8 - 1 = -9 \ne 0 .$$

Sì, è invertibile. (Non è obbligatorio calcolare prima il determinante: Gauss-Jordan stesso si accorge se la matrice non è invertibile, come si vede nel punto 2.)

Il metodo. Si scrive $(A \mid I)$ e con operazioni elementari sulle righe si trasforma la parte sinistra in $I$. La parte destra diventa $A^{-1}$: le operazioni fatte equivalgono a moltiplicare a sinistra per una matrice $R$, e se $RA = I$ allora $R = A^{-1}$; a destra si è calcolato $R \cdot I = R$.

$$(A \mid I) = \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Discesa (si ottengono zeri sotto la diagonale).

1. $R_1 \leftrightarrow R_2$: così il primo pivot è $1$ e si evitano le frazioni. $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
2. $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$: $(2, -1, 0 \mid 1, 0, 0) - (2, 0, 4 \mid 0, 2, 0) = (0, -1, -4 \mid 1, -2, 0)$. Poi $R_2 \leftarrow -R_2$ per avere pivot $1$: $(0, 1, 4 \mid -1, 2, 0)$.
3. $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$: $(0, 2, -1 \mid 0, 0, 1) - (0, 2, 8 \mid -2, 4, 0) = (0, 0, -9 \mid 2, -4, 1)$. Poi $R_3 \leftarrow -\frac19 R_3$: $\left(0, 0, 1 \mid -\frac29, \frac49, -\frac19\right)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac29 & \frac49 & -\frac19 \end{array}\right)$$

Risalita (si ottengono zeri sopra la diagonale, partendo dall'ultima colonna).

4. $R_2 \leftarrow R_2 - 4R_3$: a destra $\left(-1 + \frac89, \ 2 - \frac{16}{9}, \ 0 + \frac49\right) = \left(-\frac19, \ \frac29, \ \frac49\right)$.
5. $R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3$: a destra $\left(0 + \frac49, \ 1 - \frac89, \ 0 + \frac29\right) = \left(\frac49, \ \frac19, \ \frac29\right)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac49 & \frac19 & \frac29 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac19 & \frac29 & \frac49 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac29 & \frac49 & -\frac19 \end{array}\right) \qquad\Longrightarrow\qquad A^{-1} = \frac19 \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix}.$$

Verifica (sempre: è il controllo più economico). $A \cdot (9A^{-1})$ deve essere $9I$:

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 1 + 0 & 2 - 2 + 0 & 4 - 4 + 0 \\ 4 + 0 - 4 & 1 + 0 + 8 & 2 + 0 - 2 \\ 0 - 2 + 2 & 0 + 4 - 4 & 0 + 8 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \ ✓$$

Il determinante dai pivot. Durante la discesa il determinante cambia in modo controllato: uno scambio di righe lo cambia di segno, sommare a una riga un multiplo di un'altra non lo cambia, moltiplicare una riga per $c$ lo moltiplica per $c$. Prima delle normalizzazioni i pivot erano $1$, $-1$, $-9$, con uno scambio: $\det A = -(1 \cdot (-1) \cdot (-9)) = -9$ ✓. Il denominatore $9$ dell'inversa viene proprio da qui.

2. $B_\alpha$ non è mai invertibile

$$(B_\alpha \mid I) = \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ \alpha & 1 - \alpha & -\alpha & 0 & 1 & 0 \\ -\alpha & \alpha - 1 & \alpha & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Pivot $1$ in alto a sinistra (non dipende da $\alpha$, quindi lo si può usare per ogni $\alpha$):

• $R_2 \leftarrow R_2 - \alpha R_1$: $(\alpha, 1 - \alpha, -\alpha \mid 0, 1, 0) - (\alpha, -\alpha, -\alpha \mid \alpha, 0, 0) = (0, 1, 0 \mid -\alpha, 1, 0)$;
• $R_3 \leftarrow R_3 + \alpha R_1$: $(-\alpha, \alpha - 1, \alpha \mid 0, 0, 1) + (\alpha, -\alpha, -\alpha \mid \alpha, 0, 0) = (0, -1, 0 \mid \alpha, 0, 1)$;
• $R_3 \leftarrow R_3 + R_2$: $(0, 0, 0 \mid 0, 1, 1)$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\alpha & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$

Nella parte sinistra è comparsa una riga nulla, per ogni valore di $\alpha$. Il metodo si ferma: nessuna operazione sulle righe può più trasformare la parte sinistra in $I$, perché le operazioni elementari conservano il rango e la parte sinistra ha rango $2 < 3$. Quindi $\operatorname{rango}(B_\alpha) = 2$ e $B_\alpha$ non è invertibile per nessun $\alpha$; in particolare $\det B_\alpha = 0$.

Che cosa dice la parte destra. La riga di destra accanto alla riga nulla, $(0, 1, 1)$, contiene i coefficienti con cui le righe originali di $B_\alpha$ si combinano per dare zero:

$$0 \cdot R_1 + 1 \cdot R_2 + 1 \cdot R_3 = (\alpha - \alpha, \ 1 - \alpha + \alpha - 1, \ -\alpha + \alpha) = (0, 0, 0) .$$

Si poteva vedere subito: la terza riga di $B_\alpha$ è l'opposta della seconda. Una matrice con due righe proporzionali ha determinante nullo.

Errori comuni

• Fare operazioni sulle colonne in mezzo a quelle sulle righe: il metodo funziona solo se tutte le operazioni sono sulle righe (o tutte sulle colonne, ma allora si affianca $I$ sotto e non a destra).
• Non applicare le operazioni anche alla parte destra: ogni operazione va fatta sull'intera riga di $(A \mid I)$.
• Fermarsi alla forma a scala: per l'inversa serve la forma ridotta, con $I$ a sinistra (risalita compresa).
• Concludere che $B_\alpha$ è invertibile "per $\alpha$ generico": qui il determinante è identicamente nullo, non c'è nessun valore buono.