Esercizio 1dipendenza lineare di vettori in R2 e R3

Testo (Lezione 2, esempi svolti dal prof). Stabilire se i seguenti vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti.

1. In $\mathbb{R}^2$: $v_1 = (3, 1)$, $v_2 = (2, 5)$.
2. In $\mathbb{R}^2$: $v_1 = (3, -2)$, $v_2 = (4, 1)$, $v_3 = (1, 3)$.
3. In $\mathbb{R}^3$: $v_1 = (2, 0, 1)$, $v_2 = (-1, 1, 0)$, $v_3 = (3, 3, 1)$.
4. In $\mathbb{R}^3$: $v_1 = (2, -1, 0)$, $v_2 = (1, -3, 2)$, $v_3 = (3, 1, -2)$.

Il metodo (uguale per tutti e quattro)

Per la definizione di indipendenza lineareI vettori sono indipendenti se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →:

1. si scrive $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots = \vec 0$ con i coefficienti $a_i$ incogniti;
2. si sostituiscono le componenti (in colonna) e si ottiene un sistema lineare omogeneo, una equazione per ogni componente;
3. solo la soluzione nulla → indipendenti; infinite soluzioni → dipendenti.

1. $(3, 1)$ e $(2, 5)$

$$a_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a_1 + 2a_2 \\ a_1 + 5a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 3a_1 + 2a_2 = 0 \\ a_1 + 5a_2 = 0 \end{cases}$$

Dalla seconda equazione $a_1 = -5a_2$ (si sceglie di ricavare $a_1$ da lì perché ha coefficiente $1$, così non compaiono frazioni). Sostituendo nella prima: $3(-5a_2) + 2a_2 = -13a_2 = 0$, quindi $a_2 = 0$ e poi $a_1 = -5 \cdot 0 = 0$.

Unica soluzione $a_1 = a_2 = 0$: linearmente indipendenti.

Controllo geometrico. Per due vettori, indipendenti significa non paralleli: $(2, 5)$ non è multiplo di $(3, 1)$ (servirebbe il fattore $\frac23$ per la prima componente e $5$ per la seconda) ✓.

2. $(3, -2)$, $(4, 1)$, $(1, 3)$

$$a_1 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec 0 \iff \begin{cases} 3a_1 + 4a_2 + a_3 = 0 \\ -2a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \end{cases}$$

Prima di fare conti: ci sono 2 equazioni e 3 incognite. Ogni equazione permette di ricavare un'incognita, quindi una delle tre resterà libera e le soluzioni saranno infinite. Ci si aspetta "dipendenti".

Dalla prima $a_3 = -3a_1 - 4a_2$. Nella seconda:

$$-2a_1 + a_2 + 3(-3a_1 - 4a_2) = -11a_1 - 11a_2 = 0 \iff a_2 = -a_1.$$

Poi $a_3 = -3a_1 - 4(-a_1) = a_1$. Le soluzioni sono $(a_1, a_2, a_3) = (t, -t, t)$ per ogni $t \in \mathbb{R}$: infinite. Linearmente dipendenti.

Una relazione esplicita (con $t = 1$): $v_1 - v_2 + v_3 = \vec 0$. Verifica: $(3 - 4 + 1, -2 - 1 + 3) = (0, 0)$ ✓. Quindi, per esempio, $v_2 = v_1 + v_3$.

Osservazione. I tre vettori sono a due a due non paralleli, eppure sono dipendenti: "indipendenti = non paralleli" vale solo per due vettori. In $\mathbb{R}^2$ tre vettori sono sempre dipendenti (vedi il lemma dello scambioIn uno spazio i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori: in R^2 la base canonica ha 2 vettori, quindi 3 vettori sono sempre dipendenti.Generatori e basi →).

3. $(2, 0, 1)$, $(-1, 1, 0)$, $(3, 3, 1)$

$$a_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec 0 \iff \begin{cases} 2a_1 - a_2 + 3a_3 = 0 \\ a_2 + 3a_3 = 0 \\ a_1 + a_3 = 0 \end{cases}$$

Si parte dalle equazioni più semplici: dalla terza $a_1 = -a_3$, dalla seconda $a_2 = -3a_3$. Sostituendo nella prima:

$$2(-a_3) - (-3a_3) + 3a_3 = -2a_3 + 3a_3 + 3a_3 = 4a_3 = 0 \iff a_3 = 0,$$

e quindi $a_1 = 0$, $a_2 = 0$. Solo la soluzione nulla: linearmente indipendenti.

Significato geometrico. $v_1$ e $v_2$ individuano un piano per l'origine, e $v_3$ non sta su quel piano.

4. $(2, -1, 0)$, $(1, -3, 2)$, $(3, 1, -2)$

$$\begin{cases} 2a_1 + a_2 + 3a_3 = 0 \\ -a_1 - 3a_2 + a_3 = 0 \\ 2a_2 - 2a_3 = 0 \end{cases}$$

Dalla terza $a_2 = a_3$. Nella seconda: $-a_1 - 3a_3 + a_3 = 0$, cioè $a_1 = -2a_3$. Nella prima:

$$2(-2a_3) + a_3 + 3a_3 = -4a_3 + 4a_3 = 0.$$

La prima equazione è diventata $0 = 0$: è vera ma non determina $a_3$. Quindi $a_3$ è libero e le soluzioni sono $(a_1, a_2, a_3) = (-2t, t, t)$: infinite. Linearmente dipendenti, anche se le equazioni erano tante quante le incognite.

Relazione (con $t = 1$): $-2v_1 + v_2 + v_3 = \vec 0$, cioè $v_3 = 2v_1 - v_2$. Verifica: $2(2, -1, 0) - (1, -3, 2) = (4 - 1, -2 + 3, 0 - 2) = (3, 1, -2) = v_3$ ✓.

Significato geometrico. $v_3 = 2v_1 - v_2$ è la diagonale del parallelogramma di lati $2v_1$ e $-v_2$, che sta sul piano di $v_1$ e $v_2$: i tre vettori sono complanari.

Riepilogo

Errori comuni

• Fermarsi alla soluzione nulla: anche nel caso 4 la soluzione nulla c'è ($t = 0$), ma non è l'unica.
• Pensare che con 3 equazioni e 3 incognite la soluzione sia sempre unica: nel caso 4 un'equazione è "superflua" (diventa $0 = 0$).