Lezione 38Funzioni lineari simmetriche e teorema spettrale

Capitolo 7: Forme bilineari e teorema spettrale · Videolezione: n. 38 della playlist ("Lezione 38", 66 min)

Argomenti trattati

1. Funzioni lineari simmetriche ($f(v) \cdot w = v \cdot f(w)$).
2. Teorema spettrale: base ortonormale di autovettori.
3. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche.

Teoria

• Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche → — enunciato, dimostrazione, forme quadratiche

Esercizi

• Esercizio 89 · base ortonormale di autovettori e forma quadratica diagonale — sul teorema spettrale
• Esercizio 82 · (Im f)⊥ = Ker f per una matrice simmetrica — matrice simmetrica
• Esercizio 65 · diagonalizzabilità su R e su C e base ortonormale di autovettori (giugno 2025) — base ortonormale di autovettori

Lezione precedente: Lezione 37 · Segno di una forma bilineare simmetrica · Lezione successiva: Lezione 39 · Spazi affini, sottospazi affini e distanze