Matrice inversa

Lezione 19 (videolezione n. 19), con i richiami della lezione 15 sui cambiamenti di base. Esercizi svolti: Esercizio 46 · inversa con Gauss-Jordan e una matrice non invertibile, Esercizio 45 · matrice R tale che RA è a scala, nucleo, immagine e cambio di base. Seguito: Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →, Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Due motivi per saper invertire una matrice:

• nelle formule di cambiamento di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base → compare l'inversa di una matrice di cambio di base (cambiare la base nel codominio era la parte "difficile");
• un sistema $AX = B$ con $A$ invertibile si risolve in un colpo solo: $X = A^{-1}B$ (vedi Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →).

Definizione

Una matrice quadrata $A \in M_n(K)$ si dice invertibile se esiste una matrice $A^{-1} \in M_n(K)$ tale che $$A A^{-1} = A^{-1} A = I_n.$$ $A^{-1}$ si chiama inversa di $A$.

È l'analogo di $a \cdot \frac1a = 1$ per i numeri. Però per le matrici il prodotto non è commutativoLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →, quindi a priori bisognerebbe chiedere due cose: $A^{-1}A = I$ (inversa "a sinistra") e $AA^{-1} = I$ (inversa "a destra").

Esempio (lezione 15). Per $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ si ha $A^{-1} = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. Verifica (è la cosa più facile da fare quando qualcuno ci dà un'inversa): prima riga di $A^{-1}$ per prima colonna di $A$: $\frac15(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3) = 1$; prima riga per seconda colonna: $\frac15(1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = 0$; e così via: il prodotto è $I_2$.

Inversa sinistra e inversa destra coincidono

Proposizione. Se $BA = I_n$ e $AC = I_n$, allora $B = C$. In particolare l'inversa, se esiste, è unica.

Dimostrazione. Si calcola $BAC$ in due modi, usando la proprietà associativa del prodotto di matrici:

$$B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.$$

Nel primo passaggio si è sostituito $I_n$ con $AC$, nel quarto $BA$ con $I_n$. ∎

Per l'unicità: se $A'$ e $A''$ sono due inverse, in particolare $A'A = I$ e $AA'' = I$, quindi $A' = A''$ per quanto appena visto.

Quando una matrice è invertibile

Una matrice $A \in M_{m \times n}(K)$ corrisponde alla funzione lineare $f_A : K^n \to K^m$, $X \mapsto AX$, e $A^{-1}$ corrisponde alla funzione inversa $f_A^{-1}$. Quindi $A$ è invertibile se e solo se $f_A$ è biiettiva, cioè un isomorfismoUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →.

1. Solo le matrici quadrate possono essere invertibili. Un isomorfismo esiste solo tra spazi della stessa dimensione, quindi serve $n = m$.
2. Per una matrice quadrata basta una delle due condizioni (iniettiva oppure suriettiva). Per il teorema nullità + rangoIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, $\dim \operatorname{Ker} f_A + \dim \operatorname{Im} f_A = n$:
   • se $f_A$ è iniettiva, $\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$, quindi $\dim \operatorname{Im} f_A = n = \dim K^n$ e $\operatorname{Im} f_A = K^n$: è anche suriettiva;
   • se $f_A$ è suriettiva, $\dim \operatorname{Im} f_A = n$, quindi $\dim \operatorname{Ker} f_A = 0$: è anche iniettiva.

Teorema. Per $A \in M_n(K)$ sono equivalenti:

• $A$ è invertibile;
• $\operatorname{rango}(A) = n$ (rango massimo);
• $\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$, cioè il sistema $AX = 0$ ha solo la soluzione nulla;
• le colonne (equivalentemente, le righe) di $A$ sono linearmente indipendenti.

Più avanti si aggiungerà un'altra condizione equivalente: $\det A \ne 0$ (vedi Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →).

Calcolo con il metodo di Gauss-Jordan

Idea. Si scrive $(A \,|\, I_n)$ e si fanno solo operazioni sulle righe:

1. prima si riduce $A$ a scala come nell'Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → (zeri sotto la diagonale, procedendo dalla prima colonna verso destra);
2. poi si creano gli zeri sopra la diagonale, partendo dall'ultima colonna e risalendo verso sinistra, usando ogni volta la riga del pivot di quella colonna;
3. infine si divide ogni riga per il suo pivot, così sulla diagonale compaiono tutti $1$.

Se si riesce ad arrivare a $(I_n \,|\, B)$, allora $B = A^{-1}$.

Perché funziona. Le operazioni sulle righe equivalgono a moltiplicare a sinistra per una matrice invertibile $B$ (la "memoria" di tutte le operazioni, vedi Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →): $B(A \,|\, I_n) = (BA \,|\, B)$. Se a sinistra si è ottenuto $I_n$, vuol dire che $BA = I_n$, cioè $B$ è inversa sinistra di $A$; e per la proposizione precedente è *l'*inversa.

Quando si blocca. Le operazioni elementari non cambiano il rango. Se $\operatorname{rango}(A) < n$, nella forma a scala compare una riga nulla e a sinistra non si potrà mai ottenere $I_n$ (che ha rango $n$): appena si vede la riga nulla ci si ferma, $A$ non è invertibile.

Esempio 1: inversa a coefficienti interi

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Zeri sotto la diagonale: $R_2 \to R_2 - R_1$, $R_3 \to R_3 - R_1$.

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

È già a scala, con tre pivot: $\operatorname{rango}(A) = 3$, quindi $A$ è invertibile.

Zeri sopra la diagonale, partendo dall'ultima colonna, usando solo la terza riga: $R_2 \to R_2 + R_3$ (il $-1$ diventa $0$), $R_1 \to R_1 - R_3$ (l'$1$ diventa $0$).

$$\to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Perché non si poteva fare, per esempio, $R_2 \to R_2 + R_1$ per eliminare il $-1$ della seconda riga? Perché la prima riga ha un $1$ in prima colonna: si sarebbe distrutto lo zero in posizione $(2,1)$.

Seconda colonna, usando la seconda riga: $R_1 \to R_1 - 2R_2$.

$$\to \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 6 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \qquad \Longrightarrow \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Verifica (sempre consigliata: il procedimento è lungo ed è facile sbagliare un segno): prima riga di $A^{-1}$ per le colonne di $A$: $6 - 2 - 3 = 1$, $12 - 6 - 6 = 0$, $6 + 0 - 6 = 0$ ✓; le altre righe danno allo stesso modo $(0, 1, 0)$ e $(0, 0, 1)$.

Esempio 2: compaiono frazioni

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 1 \\ 6 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$

• $R_2 \to R_2 + 2R_1$ e $R_3 \to R_3 - 3R_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
• $R_3 \to R_3 + \frac35 R_2$ (il rapporto tra $-3$ e $5$; il prezzo da pagare sono le frazioni): $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac75 & -\frac95 & \frac35 & 1 \end{array}\right)$$
• $R_3 \to -\frac57 R_3$ (per avere $1$ sulla diagonale), poi $R_2 \to R_2 - R_3$ (la prima riga ha già $0$ in terza colonna): $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & \frac57 & \frac{10}7 & \frac57 \\ 0 & 0 & 1 & \frac97 & -\frac37 & -\frac57 \end{array}\right)$$
• $R_2 \to \frac15 R_2$, poi $R_1 \to R_1 - R_2$, infine $R_1 \to \frac12 R_1$: $$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac37 & -\frac17 & -\frac1{14} \\ 0 & 1 & 0 & \frac17 & \frac27 & \frac17 \\ 0 & 0 & 1 & \frac97 & -\frac37 & -\frac57 \end{array}\right)$$

Una curiosità del prof: tutti i denominatori sono $7$ o $14 = 2 \cdot 7$, cioè divisori di $14$. Non è un caso: $\det A = -14$, e la formula dell'inversa con l'aggiuntaLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer → spiega che nell'inversa si divide sempre per il determinante.

Esempio 3: una matrice non invertibile

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix}$$

$R_1 \leftrightarrow R_2$ (il primo elemento era $0$), poi $R_3 \to R_3 - 2R_1$ e infine $R_3 \to R_3 - R_2$:

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Rango $2 < 3$: ci si ferma, $A$ non è invertibile (infatti $R_3 = R_1 + 2R_2$ nella matrice originale). Non è un fallimento del metodo: è la risposta.

La formula per le matrici $2 \times 2$

Facendo Gauss-Jordan su $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ si trova, quando $ad - bc \ne 0$,

$$\boxed{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}$$

cioè: si scambiano i due elementi della diagonale principale, si cambia segno agli altri due e si divide per $ad - bc$. Verifica: il prodotto della prima riga di $A^{-1}$ per la prima colonna di $A$ è $\frac{da - bc}{ad - bc} = 1$.

Tutti gli elementi hanno lo stesso denominatore $ad - bc$, e se questo numero è $0$ l'inversa non esiste. Questo numero determina se $A$ è invertibile: per questo si chiama determinante. Capire chi è il "denominatore comune" per matrici più grandi è il punto di partenza della teoria dei determinantiIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →.

Proprietà

Se $A, B \in M_n(K)$ sono invertibili:

La seconda riga ricorda il "togliersi calze e scarpe": si tolgono in ordine inverso a come si sono messe.

Uso per i sistemi. Se $A \in M_n(K)$ è invertibile, $AX = B$ ha l'unica soluzione $X = A^{-1}B$ (si moltiplicano entrambi i membri a sinistra per $A^{-1}$). Calcolare $A^{-1}$ conviene però solo se si devono risolvere molti sistemi con la stessa $A$ e termini noti diversi; per un solo sistema è più rapido Gauss direttamente su $(A \,|\, B)$.

Errori comuni

• Parlare di inversa di una matrice non quadrata. Non esiste.
• Usare operazioni sulle colonne in $(A \,|\, I)$: le colonne di $A$ e di $I$ non si mescolerebbero nel modo giusto. Solo righe.
• Moltiplicare dalla parte sbagliata: da $AX = B$ si ricava $X = A^{-1}B$, non $BA^{-1}$ (che spesso non ha nemmeno senso).
• Scrivere $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$: l'ordine va invertito.
• Non verificare: un prodotto $AA^{-1}$ richiede pochi conti e scopre quasi tutti gli errori.