Lezione 7Basi in dimensione n, formula di Grassmann e somma diretta

Capitolo 1: Spazi vettoriali · Videolezione: n. 7 della playlist ("Lezione 7", 71 min)

Argomenti trattati

1. In dimensione $n$: $n$ vettori indipendenti sono una base, e $n$ generatori sono una base.
2. Formula di Grassmann $\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$.
3. Somma diretta $U \oplus W$: intersezione nulla, ogni vettore della somma si scrive in modo unico.

Teoria

• DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → — basi in dimensione n
• Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → — enunciato, dimostrazione, somma diretta

Esercizi sugli stessi argomenti

• Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4 — somma diretta in un tema d'esame

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