Lezione 27Esercizi su sottospazi, funzioni lineari e matrici

Capitoli 1 e 2: Spazi vettoriali, Funzioni lineari e matrici · Videolezione: n. 27 della playlist ("Lezione 27", 77 min)

Argomenti trattati

1. Domande teoriche su dimensione, somma e intersezione (formula di Grassmann).
2. Esercizio d'esame su una funzione lineare da $\mathbb{R}^4$ in $\mathbb{R}^4$ data dalle immagini di quattro vettori: matrice nelle basi canoniche, nucleo, immagine.

Teoria

• Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → — domande teoriche
• Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare → — matrice da immagini di vettori non canonici

Esercizi

• Esercizio 11 · domande teoriche su dimensione, somma e intersezione (lezione 27) — domande teoriche della lezione
• Esercizio 28 · matrice rispetto a una base non canonica (appello 8/7/2025) — funzione data dalle immagini di una base non canonica
• Esercizio 25 · intersezione tra nucleo e immagine (appello 14/6/2022) — intersezione tra nucleo e immagine

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