Esercizio 101distanza punto-piano e retta parallela a un piano (appello 2/9/2021)

Testo (3° appello del 2 settembre 2021, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ sono dati il punto $A = (5, 0, 5)$ e il piano $\pi: 2x - y + z = 3$.

(a) Determinare la distanza $\operatorname{dist}(A, \pi)$ di $A$ dal piano $\pi$ e il punto $A' \in \pi$ di minima distanza da $A$. (b) Determinare l'equazione cartesiana di un piano $\pi'$ parallelo al piano $\pi$ e tale che $\operatorname{dist}(A, \pi') = \frac12 \operatorname{dist}(A, \pi)$. (c) Scrivere le equazioni parametriche della retta $r$ passante per $A$, parallela al piano $\pi$ e ortogonale al vettore $v = (1, 2, -3)$. (d) Dato il punto $B = (7, -6, -2)$ trovare il punto $B' \in r$ di minima distanza da $B$.

Teoria usata: Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →, Fasci di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani →.

(a) Distanza da $\pi$ e punto più vicino

Idea. Il punto di $\pi$ più vicino ad $A$ è il piede della perpendicolare: si scende da $A$ lungo la normale di $\pi$ fino a toccare il piano.

La normale di $\pi$ si legge dai coefficienti: $n = (2, -1, 1)$. La retta per $A$ ortogonale a $\pi$:

$$s: \ (x, y, z) = (5 + 2t, \ -t, \ 5 + t).$$

Intersezione con $\pi$: $2(5 + 2t) - (-t) + (5 + t) = 3$, cioè $15 + 6t = 3$, $t = -2$. Quindi

$$A' = (5 - 4, \ 2, \ 5 - 2) = (1, 2, 3), \qquad \operatorname{dist}(A, \pi) = \|A - A'\| = \|(4, -2, 2)\| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 .$$

Controllo: $A' \in \pi$ perché $2 - 2 + 3 = 3$ ✓.

Con la formula $\operatorname{dist}(A, \pi) = \frac{|2 \cdot 5 - 0 + 5 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{12}{\sqrt6} = 2\sqrt6$ ✓.

Osservazione utile per (b): $A - A' = (4, -2, 2) = 2n$, cioè $A = A' + 2n$.

(b) Piani paralleli a $\pi$ a distanza dimezzata

I piani paralleli a $\pi$ hanno la stessa normale: $2x - y + z = k$ (fascio improprioI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani →). La distanza richiesta è $\frac12 \cdot 2\sqrt6 = \sqrt6$:

$$\operatorname{dist}(A, \pi') = \frac{|10 - 0 + 5 - k|}{\sqrt6} = \frac{|15 - k|}{\sqrt6} = \sqrt6 \iff |15 - k| = 6 \iff k = 9 \ \text{ oppure } \ k = 21 .$$

$$\pi'_1: \ 2x - y + z = 9, \qquad \pi'_2: \ 2x - y + z = 21 .$$

Interpretazione. I due piani passano per $A \mp n$: $A - n = (3, 1, 4)$ ($6 - 1 + 4 = 9$ ✓), tra $A$ e $\pi$; $A + n = (7, -1, 6)$ ($14 + 1 + 6 = 21$ ✓), dalla parte opposta di $A$. Siccome $A$ dista $2\|n\|$ da $\pi$, spostarsi di $\|n\|$ lungo la normale dimezza la distanza. Il testo chiede "un piano": va bene uno qualsiasi dei due.

(c) Retta per $A$ parallela a $\pi$ e ortogonale a $v$

Il vettore direttore $v_r$ deve essere:

• parallelo a $\pi$, cioè ortogonale alla normale: $v_r \cdot n = 0$;
• ortogonale a $v$: $v_r \cdot v = 0$.

Un vettore ortogonale a due vettori dati è il loro prodotto vettoriale:

$$v_r = n \times v = (2, -1, 1) \times (1, 2, -3) = \big((-1)(-3) - 1 \cdot 2, \ \ 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-3), \ \ 2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1\big) = (1, 7, 5).$$

Controlli: $(1, 7, 5) \cdot (2, -1, 1) = 2 - 7 + 5 = 0$ ✓; $(1, 7, 5) \cdot (1, 2, -3) = 1 + 14 - 15 = 0$ ✓.

$$r: \begin{cases} x = 5 + t \\ y = 7t \\ z = 5 + 5t \end{cases}$$

(d) Punto di $r$ più vicino a $B$

Punto generico di $r$: $R = (5 + t, \ 7t, \ 5 + 5t)$. Il punto più vicino è quello per cui $R - B$ è ortogonale alla direzione della retta:

$$R - B = (-2 + t, \ 6 + 7t, \ 7 + 5t), \qquad (R - B) \cdot (1, 7, 5) = (-2 + t) + (42 + 49t) + (35 + 25t) = 75 + 75t = 0 .$$

Quindi $t = -1$ e

$$B' = (4, -7, 0), \qquad \operatorname{dist}(B, r) = \|B - B'\| = \|(3, 1, -2)\| = \sqrt{14} .$$

Controllo: $(3, 1, -2) \cdot (1, 7, 5) = 3 + 7 - 10 = 0$ ✓.

Errori comuni

• Dimenticare uno dei due piani in (b): con il valore assoluto le soluzioni sono due.
• Prendere come direttore di $r$ la normale $n$ in (c): una retta parallela al piano ha direttore ortogonale a $n$.
• In (d) imporre $(R - B) \cdot n = 0$: l'ortogonalità va imposta rispetto alla direzione di $r$, la retta su cui si cerca il punto.