Nucleo e immagine

Lezione 10 (videolezione n. 10) e primo esercizio della lezione 11; l'antimmagine come "soluzione particolare + nucleo" torna nella lezione 15 con i sistemi lineari. Esercizi svolti: Esercizio 21 · nucleo e immagine di una funzione da R³ a R², Esercizio 22 · nucleo, immagine, antimmagine e restrizione (compitino 12/4/2025), Esercizio 23 · nucleo, immagine e antimmagine con un parametro (compitino 10/4/2026), Esercizio 25 · intersezione tra nucleo e immagine (appello 14/6/2022), Esercizio 26 · nucleo, immagine e matrice di una restrizione (appello 3/2/2026), Esercizio 29 · domande teoriche su nucleo, immagine e indipendenza lineare (lezione 29). Prerequisiti: Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →. Seguito: Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →.

A ogni funzione lineare $f : V \to W$ sono associati in modo naturale due sottospaziUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →: uno nel dominio $V$ (il nucleo) e uno nel codominio $W$ (l'immagine).

Definizioni

Nucleo di $f$: l'insieme dei vettori del dominio che $f$ manda nel vettore nullo, $$\operatorname{Ker} f = \{ v \in V : f(v) = \vec 0_W \} \subseteq V$$ ("Ker" viene dall'inglese kernel; alcuni libri scrivono $N(f)$.)

Immagine di $f$: l'insieme dei vettori del codominio che sono immagine di qualche vettore del dominio, $$\operatorname{Im} f = \{ w \in W : \exists\, v \in V \text{ con } f(v) = w \} = \{ f(v) : v \in V \} \subseteq W$$

Attenzione a dove vivono: $\operatorname{Ker} f$ è dentro il dominio $V$, $\operatorname{Im} f$ è dentro il codominio $W$. Non ha senso chiedersi se un vettore di $W$ sta nel nucleo, a meno che $W = V$.

Sono sottospazi

Teorema. $\operatorname{Ker} f$ è un sottospazio di $V$ e $\operatorname{Im} f$ è un sottospazio di $W$.

Per un sottoinsieme basta verificare la chiusuraUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali → rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare (e che non sia vuoto: entrambi contengono il vettore nullo, perché $f(\vec 0_V) = \vec 0_W$).

Nucleo, somma. Se $v_1, v_2 \in \operatorname{Ker} f$, cioè $f(v_1) = \vec 0$ e $f(v_2) = \vec 0$, allora $$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) = \vec 0 + \vec 0 = \vec 0$$ (primo passaggio: linearità), quindi $v_1 + v_2 \in \operatorname{Ker} f$.

Nucleo, prodotto. Se $v \in \operatorname{Ker} f$ e $\lambda \in K$: $f(\lambda v) = \lambda f(v) = \lambda \vec 0 = \vec 0$, quindi $\lambda v \in \operatorname{Ker} f$.

Il ragionamento funziona solo perché $\vec 0 + \vec 0 = \vec 0$: l'insieme $\{v : f(v) = w\}$ con $w \ne \vec 0$ non è un sottospazio (non contiene nemmeno $\vec 0$).

Immagine, somma. Se $w_1, w_2 \in \operatorname{Im} f$, esistono $v_1, v_2$ con $f(v_1) = w_1$ e $f(v_2) = w_2$. Il vettore $v_1 + v_2$ va proprio nella somma: $$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2) = w_1 + w_2$$ quindi $w_1 + w_2$ è immagine di qualcosa, cioè sta in $\operatorname{Im} f$.

Immagine, prodotto. Se $w = f(v)$, allora $\lambda w = \lambda f(v) = f(\lambda v)$ sta in $\operatorname{Im} f$ ∎.

Il nucleo controlla l'iniettività, l'immagine la suriettività

Ricordiamo: $f$ è iniettiva se vettori diversi hanno immagini diverse ($v_1 \ne v_2 \Rightarrow f(v_1) \ne f(v_2)$); è suriettiva se ogni vettore del codominio è immagine di qualcosa.

Teorema. $f$ è iniettiva $\iff$ $\operatorname{Ker} f = \{\vec 0\}$.

("$\operatorname{Ker} f = \{\vec 0\}$" significa che il nucleo contiene solo il vettore nullo: il nucleo non è mai vuoto, $\vec 0$ c'è sempre.)

Dimostrazione di $\Rightarrow$. Sappiamo già che $f(\vec 0) = \vec 0$. Se ci fosse un altro vettore $v \ne \vec 0$ nel nucleo, avremmo $f(v) = \vec 0 = f(\vec 0)$: due vettori diversi, $v$ e $\vec 0$, con la stessa immagine. Questo contraddice l'iniettività. Quindi nel nucleo c'è solo $\vec 0$.

Dimostrazione di $\Leftarrow$. Siano $v_1 \ne v_2$ e supponiamo per assurdo $f(v_1) = f(v_2)$. Il trucco è far comparire il vettore nullo, perché l'ipotesi parla del nucleo: portando tutto a sinistra, $$f(v_1) - f(v_2) = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad f(v_1 - v_2) = \vec 0$$ (linearità), quindi $v_1 - v_2 \in \operatorname{Ker} f = \{\vec 0\}$, cioè $v_1 - v_2 = \vec 0$, cioè $v_1 = v_2$: assurdo. Quindi $f(v_1) \ne f(v_2)$ e $f$ è iniettiva ∎.

Per la suriettività non c'è niente da dimostrare: per definizione $f$ è suriettiva $\iff$ $\operatorname{Im} f = W$.

Le immagini di una base generano l'immagine

Proposizione. Se $\{v_1, \dots, v_n\}$ è una base di $V$, allora $\operatorname{Im} f = \langle f(v_1), \dots, f(v_n) \rangle$.

Dimostrazione. Ogni $w \in \operatorname{Im} f$ è $w = f(v)$ per qualche $v$; scritto $v = \sum \lambda_j v_j$, per la linearità $w = \sum \lambda_j f(v_j)$: è combinazione lineare delle $f(v_j)$ ∎.

Non è detto che le $f(v_j)$ siano una base di $\operatorname{Im} f$: possono essere dipendenti (esempio in Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →). Sono però generatori, e da un insieme di generatori si estrae sempre una baseTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →. È il metodo pratico per trovare una base dell'immagine: si calcolano le immagini dei vettori di una base (in $K^n$: della base canonica, cioè le colonne della matrice) e si scartano quelle dipendenti dalle altre.

Teorema della nullità più rango (formula delle dimensioni)

Teorema. Se $f : V \to W$ è lineare e $V$ ha dimensione finita, $$\dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f = \dim V$$

Nomi: $\dim \operatorname{Ker} f$ si chiama nullità di $f$ (il nucleo è fatto dai vettori che "si annullano"), $\dim \operatorname{Im} f$ si chiama rango di $f$. La formula si legge "nullità + rango = dimensione del dominio".

Osservazione importante: nella formula non compare $\dim W$. Il codominio può essere grande quanto si vuole: conta solo quanto è grande il dominio, che viene "spartito" tra la parte che va persa (il nucleo) e la parte che sopravvive (l'immagine).

Dimostrazione. L'idea è la stessa della formula di GrassmannFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →: partire da una base del sottospazio più piccolo e completarla.

1. Base del nucleo. Sia $\{v_1, \dots, v_r\}$ una base di $\operatorname{Ker} f$; quindi $\dim \operatorname{Ker} f = r$.
2. Completamento. Sono vettori indipendenti di $V$, quindi si possono completare a una baseTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → di $V$ aggiungendo $v_{r+1}, \dots, v_{r+s}$. Quindi $\dim V = r + s$. (I vettori aggiunti non stanno nel nucleo, altrimenti sarebbero combinazione di $v_1, \dots, v_r$.)
3. Immagini. Applico $f$ a tutta la base: $f(v_1) = \dots = f(v_r) = \vec 0$ (stanno nel nucleo), mentre chiamo $w_1 = f(v_{r+1}), \dots, w_s = f(v_{r+s})$. Per la proposizione precedente le immagini generano $\operatorname{Im} f$; gli zeri non contribuiscono, quindi $w_1, \dots, w_s$ generano $\operatorname{Im} f$.
4. Resta da vedere che $w_1, \dots, w_s$ sono indipendenti (allora sono una base e $\dim \operatorname{Im} f = s$, che è la tesi: $r + s = \dim V$). Sia $\lambda_1 w_1 + \dots + \lambda_s w_s = \vec 0$. Non abbiamo numeri espliciti, quindi si ragiona così: per linearità $$f(\lambda_1 v_{r+1} + \dots + \lambda_s v_{r+s}) = \lambda_1 w_1 + \dots + \lambda_s w_s = \vec 0$$ cioè il vettore $\lambda_1 v_{r+1} + \dots + \lambda_s v_{r+s}$ sta nel nucleo. Allora è combinazione della base del nucleo: $\lambda_1 v_{r+1} + \dots + \lambda_s v_{r+s} = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_r v_r$. Portando tutto a sinistra $$-\alpha_1 v_1 - \dots - \alpha_r v_r + \lambda_1 v_{r+1} + \dots + \lambda_s v_{r+s} = \vec 0$$ Questa è una combinazione nulla dei vettori di una base di $V$, che sono indipendenti: tutti i coefficienti sono zero, in particolare $\lambda_1 = \dots = \lambda_s = 0$ ∎.

Conseguenze (da usare negli esercizi)

Sia $n = \dim V$, $m = \dim W$. Poiché $\operatorname{Im} f \subseteq W$, si ha $\dim \operatorname{Im} f \le m$; poiché $\dim \operatorname{Im} f = n - \dim \operatorname{Ker} f$, si ha anche $\dim \operatorname{Im} f \le n$.

L'ultima riga, insieme al teorema in Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →, dice: due spazi di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

Nella terza riga si usa che un sottospazio di dimensione $m$ dentro uno spazio di dimensione $m$ è tutto lo spazio (vedi DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →).

Esempio (lezione 11)

$f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $f(x_1, x_2, x_3) = (3x_1 - x_2 + x_3, \ -2x_1 + 4x_2 - x_3)$.

Prima di fare conti. Il nucleo è dato dal sistema $f(v) = \vec 0$, cioè 2 equazioni in 3 incognite: si ricavano 2 incognite in funzione della terza, che resta libera. Ci aspettiamo $\dim \operatorname{Ker} f = 1$, quindi per nullità + rango $\dim \operatorname{Im} f = 3 - 1 = 2 = \dim \mathbb{R}^2$: $f$ è suriettiva e non iniettiva.

Nucleo. Sommando le due equazioni $3x_1 - x_2 + x_3 = 0$ e $-2x_1 + 4x_2 - x_3 = 0$ si elimina $x_3$: $x_1 + 3x_2 = 0$, cioè $x_1 = -3x_2$. Dalla prima, $x_3 = x_2 - 3x_1 = x_2 + 9x_2 = 10x_2$. Ponendo $x_2 = 1$: $\operatorname{Ker} f = \langle (-3, 1, 10) \rangle$. Verifica: $3(-3) - 1 + 10 = 0$ e $-2(-3) + 4 - 10 = 0$ ✓.

Immagine. Le immagini della base canonica sono $f(e_1) = (3, -2)$, $f(e_2) = (-1, 4)$, $f(e_3) = (1, -1)$: generano $\operatorname{Im} f$. Tre vettori in $\mathbb{R}^2$ sono per forza dipendenti; ne scarto uno, per esempio $f(e_1)$: restano $(-1, 4)$ e $(1, -1)$, che non sono proporzionali, quindi sono una base di $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$. Svolgimento completo nell'Esercizio 21 · nucleo e immagine di una funzione da R³ a R².

L'antimmagine di un vettore

L'antimmagine (o controimmagine) di $w \in W$ è $f^{-1}(w) = \{ v \in V : f(v) = w \}$.

(Il simbolo $f^{-1}(w)$ ha senso anche se $f$ non è invertibile: indica un insieme, eventualmente vuoto.)

• Se $w \notin \operatorname{Im} f$, $f^{-1}(w) = \emptyset$.
• $f^{-1}(\vec 0) = \operatorname{Ker} f$.

Teorema. Se $v_0$ è un vettore con $f(v_0) = w$ (una "soluzione particolare"), allora $$f^{-1}(w) = v_0 + \operatorname{Ker} f = \{ v_0 + u : u \in \operatorname{Ker} f \}$$

Dimostrazione. Se $u \in \operatorname{Ker} f$, $f(v_0 + u) = f(v_0) + f(u) = w + \vec 0 = w$: tutti i vettori $v_0 + u$ vanno in $w$. Viceversa, se $f(v) = w$, allora $f(v - v_0) = w - w = \vec 0$, cioè $u = v - v_0 \in \operatorname{Ker} f$ e $v = v_0 + u$ ∎.

Esempio. Con la $f$ di prima, $f^{-1}(1, 2)$: si risolve $3x_1 - x_2 + x_3 = 1$, $-2x_1 + 4x_2 - x_3 = 2$. Scegliendo $x_2 = 0$ (una scelta qualsiasi per trovare una soluzione): $3x_1 + x_3 = 1$ e $-2x_1 - x_3 = 2$; sommando $x_1 = 3$, poi $x_3 = 1 - 9 = -8$. Quindi $v_0 = (3, 0, -8)$ e $$f^{-1}(1, 2) = (3, 0, -8) + \langle (-3, 1, 10) \rangle = \{ (3 - 3t, \ t, \ -8 + 10t) : t \in \mathbb{R} \}$$ Geometricamente: una retta parallela al nucleo che non passa per l'origine (non è un sottospazio).

Questo è lo stesso fatto che per i sistemi lineari dice "soluzioni del sistema = una soluzione particolare + soluzioni del sistema omogeneo associato": vedi Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

Errori comuni

• Contare male le incognite libere. In $\mathbb{R}^3$ il sottospazio di equazione $2x_1 - 3x_2 = 0$ ha dimensione 2, non 1: anche $x_3$ è libera (ha coefficiente zero, ma c'è). Allo stesso modo il nucleo di $f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^k$ si calcola sempre con 4 incognite.
• Dire "il nucleo è vuoto" invece di "il nucleo è $\{\vec 0\}$".
• Usare $\dim W$ in nullità + rango: la formula usa la dimensione del dominio.
• Prendere le immagini di una base come base dell'immagine senza controllare l'indipendenza.
• Dare come antimmagine solo $v_0$: se il nucleo non è nullo, le soluzioni sono infinite ($v_0 + \operatorname{Ker} f$). Soluzioni particolari diverse danno lo stesso insieme.