Esercizio 2sin x, cos x ed e^x sono linearmente indipendenti

Testo (Lezione 3, esempio svolto dal prof). Nello spazio vettoriale delle funzioni $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si considerino $f_1(x) = \sin x$, $f_2(x) = \cos x$, $f_3(x) = e^x$. Stabilire se sono linearmente dipendenti o indipendenti.

Cosa bisogna dimostrare

Le funzioni sono "vettori" dello spazio delle funzioniSomma e prodotto per un numero sono definiti punto per punto: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λ f(x).Spazi vettoriali →. Per la definizione di indipendenzaL'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo deve essere quella con tutti i coefficienti nulli.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → si scrive

$$a_1 f_1 + a_2 f_2 + a_3 f_3 = f_N,$$

dove $f_N$ è la funzione nulla (il vettore nullo di questo spazio): $f_N(x) = 0$ per ogni $x$. Scritto punto per punto:

$$a_1 \sin x + a_2 \cos x + a_3 e^x = 0 \qquad \text{per ogni } x \in \mathbb{R}.$$

Attenzione a chi sono le incognite. Questa non è un'equazione in $x$ (non si cercano i valori di $x$ che la risolvono): deve valere per ogni $x$. Le incognite sono $a_1, a_2, a_3$. Se si scopre che devono essere tutti zero, le funzioni sono indipendenti.

Qui non ci sono componenti da sostituire, quindi non si ottiene direttamente un sistema: si usano le proprietà delle funzioni.

Passo 1: $a_3 = 0$, guardando cosa succede per $x \to +\infty$

$\sin x$ e $\cos x$ sono limitate (valori tra $-1$ e $1$), quindi $a_1 \sin x + a_2 \cos x$ è limitata: in valore assoluto è al massimo $|a_1| + |a_2|$. Invece $e^x \to +\infty$ per $x \to +\infty$.

Se fosse $a_3 > 0$, il termine $a_3 e^x$ tenderebbe a $+\infty$ e la somma (limitata + qualcosa che va a $+\infty$) tenderebbe a $+\infty$: non potrebbe essere $0$ per ogni $x$. Se fosse $a_3 < 0$, la somma tenderebbe a $-\infty$. Quindi l'unica possibilità è

$$a_3 = 0.$$

Passo 2: $a_2 = 0$, scegliendo $x = 0$

Ora resta $a_1 \sin x + a_2 \cos x = 0$ per ogni $x$. Visto che vale per ogni $x$, vale in particolare per i valori più comodi. Con $x = 0$: $\sin 0 = 0$ e $\cos 0 = 1$, quindi

$$a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 = 0 \iff a_2 = 0.$$

Passo 3: $a_1 = 0$, scegliendo $x = \frac\pi2$

Resta $a_1 \sin x = 0$ per ogni $x$. Con $x = \frac\pi2$, dove $\sin \frac\pi2 = 1$: $a_1 = 0$.

Conclusione

L'unica combinazione lineare uguale alla funzione nulla è quella con $a_1 = a_2 = a_3 = 0$: $\sin x$, $\cos x$ ed $e^x$ sono linearmente indipendenti.

Osservazioni

• Scegliere valori di $x$ è lecito solo in questa direzione. Dall'uguaglianza "per ogni $x$" si possono dedurre condizioni sui coefficienti sostituendo valori particolari. Non si può invece dimostrare che una combinazione è nulla controllando qualche valore di $x$.
• Un esempio di funzioni dipendenti: $f_1 = \sin^2 x$, $f_2 = \cos^2 x$, $f_3 = 1$ (la costante). Vale $1 \cdot \sin^2 x + 1 \cdot \cos^2 x - 1 \cdot 1 = 0$ per ogni $x$, con coefficienti non nulli: sono dipendenti.

Errori comuni

• Risolvere $a_1 \sin x + a_2 \cos x + a_3 e^x = 0$ come equazione in $x$: l'uguaglianza deve valere per tutti gli $x$, e si cercano i coefficienti.
• Scegliere un solo valore di $x$ e concludere: con $x = 0$ si ottiene solo $a_2 + a_3 = 0$, che non basta.