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Lezioni 6–8 (videolezioni n. 6, 7 e 8). Prerequisito: Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →. Esercizi svolti: Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3, Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione. Seguito: Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →.

Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori

Teorema. Se $v_1, \dots, v_n$ e $w_1, \dots, w_r$ sono due basi di $V$, allora $r = n$.

Dimostrazione. Si usa due volte il lemma dello scambioIn uno spazio vettoriale il numero di vettori linearmente indipendenti è sempre minore o uguale al numero di vettori di un sistema di generatori.Generatori e basi →:

• i $v$ generano e i $w$ sono indipendenti, quindi $r \le n$;
• i $w$ generano e i $v$ sono indipendenti, quindi $n \le r$.

Quindi $r = n$ ∎.

Il numero di vettori di una base non dipende dalla base scelta (due studenti che trovano basi diverse dello stesso spazio trovano lo stesso numero di vettori): è una caratteristica dello spazio.

La dimensione di $V$, indicata con $\dim V$, è il numero di vettori di una qualsiasi base di $V$. Per convenzione $\dim \{\vec 0\} = 0$.

Perché $\dim\{\vec 0\} = 0$ e non $1$. Lo spazio nullo contiene un vettore, ma $\{\vec 0\}$ non è una base perché il vettore nullo non è indipendente ($1 \cdot \vec 0 = \vec 0$ con coefficiente $1 \ne 0$). La base dello spazio nullo è l'insieme vuoto, con $0$ vettori.

Esempi

La definizione formale conferma l'intuizione: la retta ha dimensione 1, il piano 2, lo spazio $\mathbb{R}^3$ ha dimensione 3. (Attenzione: il polinomio di grado $\le 3$ ha 4 coefficienti, quindi dimensione $4$, non $3$.)

Estrarre una base da un sistema di generatori

Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_s$ generatori di $V$. Per il lemma dello scambio $s \ge n$ (gli $n$ vettori indipendenti di una base non possono superare i generatori).

Teorema. Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base, togliendo opportunamente alcuni vettori.

Dimostrazione (è anche il metodo degli esercizi).

1. Si controlla se $v_1, \dots, v_s$ sono indipendenti. Se sì, sono una base: fine.
2. Se no, uno di essi è combinazione lineare degli altriTeorema: dei vettori sono dipendenti se e solo se almeno uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →; lo si cancella (riordinando, sia $v_s$).
3. I rimanenti $v_1, \dots, v_{s-1}$ generano ancora $V$: ogni $v$ è $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_s v_s$, e sostituendo a $v_s$ la sua espressione in funzione degli altri si ottiene una combinazione di $v_1, \dots, v_{s-1}$.
4. Si ripete dal passo 1.

Il procedimento si ferma al più quando restano $n$ vettori: con meno di $n$ vettori non si può generare $V$, quindi a quel punto i vettori rimasti sono per forza indipendenti ∎.

Attenzione: al passo 2 va tolto un vettore che è davvero combinazione degli altri, non uno a caso (vedi l'esempio in Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →).

Completare un insieme di vettori indipendenti a una base

Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_r$ indipendenti; allora $r \le n$.

Teorema. Ogni insieme di vettori indipendenti si può completare a una base di $V$, aggiungendo opportuni vettori.

Dimostrazione.

1. Si controlla se $v_1, \dots, v_r$ generano $V$. Se sì, sono una base.
2. Se no, esiste un vettore $v_{r+1}$ che non è combinazione di $v_1, \dots, v_r$. Lo si aggiunge.
3. $v_1, \dots, v_r, v_{r+1}$ sono ancora indipendenti: se in una combinazione nulla il coefficiente di $v_{r+1}$ fosse $\ne 0$, si potrebbe ricavare $v_{r+1}$ come combinazione degli altri (escluso per scelta); quindi è $0$, e allora sono nulli anche gli altri perché $v_1, \dots, v_r$ sono indipendenti.
4. Si ripete.

Il procedimento si ferma al più quando si arriva a $n$ vettori: $n + 1$ vettori sarebbero dipendenti ∎.

In pratica: come scegliere il vettore da aggiungere. Non serve studiare tutte le combinazioni di $v_1, \dots, v_r$: si prova un vettore semplice, di solito della base canonica ($e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, poi $e_2$, …), e poi si verifica che i vettori ottenuti siano indipendenti. Geometricamente: se $v_1, v_2$ stanno su un piano di $\mathbb{R}^3$, è estremamente improbabile che un vettore scelto a caso cada proprio su quel piano; se capita, si prova il successivo. Gli zeri del vettore della base canonica semplificano il sistema della verifica. Esempio nell'Esercizio 5 · estrarre e completare una base in R3.

In dimensione $n$ basta una sola verifica

Teorema. Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_n$ esattamente $n$ vettori. Allora:

1. se generano $V$, sono anche indipendenti, quindi sono una base;
2. se sono indipendenti, generano anche $V$, quindi sono una base.

Dimostrazione. (1) Se non fossero indipendenti si potrebbe estrarre una base togliendo almeno un vettore, e si avrebbe una base con meno di $n$ vettori: impossibile. (2) Se non generassero si potrebbe completarli aggiungendo almeno un vettore, e si avrebbe una base con più di $n$ vettori: impossibile ∎.

Negli esercizi si risparmia metà dei conti: $n$ vettori indipendenti in uno spazio di dimensione $n$ sono una base.

Conseguenze per i sottospazi. Se $U \subseteq V$ è un sottospazio:

• $\dim U \le \dim V$ (una base di $U$ è un insieme di vettori indipendenti di $V$);
• se $\dim U = \dim V$ allora $U = V$ (una base di $U$ sono $n$ vettori indipendenti di $V$, quindi è una base di $V$, e genera tutto $V$).

Da qui l'elenco dei sottospazi di $\mathbb{R}^3$: dimensione $0$ ($\{\vec 0\}$), $1$ (rette per l'origine), $2$ (piani per l'origine), $3$ ($\mathbb{R}^3$).

Dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo

Un sottospazio si può dare in due modi:

• con dei generatori (o una base): $U = \langle u_1, \dots, u_k \rangle$;
• con delle equazioni lineari omogenee: $U$ = insieme delle soluzioni.

Dalle equazioni a una base. Esempio: $U = \{x \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 0\}$. Si ricava $x_1 = 2x_2 - 4x_3$, con $x_2, x_3$ liberi. Il vettore generico di $U$ è

$$\begin{pmatrix} 2x_2 - 4x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

I due vettori $(2, 1, 0)$ e $(-4, 0, 1)$ generano $U$ e sono indipendenti (guardando la 2ª e 3ª componente si trovano $\lambda_1 = 0$ e $\lambda_2 = 0$). Quindi $\dim U = 2$: è un piano.

Regola generale. La dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è il numero di incognite libere. Una base si ottiene dando a una incognita libera il valore $1$ e alle altre $0$, in tutti i modi possibili: gli $1$ e $0$ nelle posizioni delle incognite libere garantiscono l'indipendenza senza altre verifiche. Dettagli: Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione; il legame con il rango arriva con il teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →.

Riassunto

Errori comuni

• Dire che i polinomi di grado $\le 3$ formano uno spazio di dimensione 3: la base $1, x, x^2, x^3$ ha 4 elementi.
• Contare i vettori dello spazio nullo: $\dim\{\vec 0\} = 0$.
• Aggiungere un vettore a caso senza verificare: la scelta "a caso" è comoda, ma l'indipendenza va controllata.
• Credere che $k$ generatori diano dimensione $k$: la dimensione è $\le k$, ed è $k$ solo se i generatori sono indipendenti.