Esercizio 3quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi

Testo (Lezione 3, esempi svolti dal prof). Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di $\mathbb{R}^2$ sono sottospazi vettoriali.

1. $W_1 = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : 3a - 2b = 0\}$;
2. $W_2 = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : a - 2b = 3\}$;
3. $W_3 = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : a^2 - b = 0\}$;
4. $W_4 = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : a \ge 0,\ b \ge 0\}$.

Cosa bisogna verificare

Per la definizione di sottospazioUn sottoinsieme non vuoto è un sottospazio se è chiuso per la somma e per il prodotto per scalari.Sottospazi vettoriali →, $W$ è un sottospazio se

• (S) $w_1, w_2 \in W \Rightarrow w_1 + w_2 \in W$, e
• (P) $w \in W$, $\lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow \lambda w \in W$.

Due regole pratiche:

• per dimostrare che è un sottospazio bisogna verificare (S) e (P) con vettori generici;
• per dimostrare che non lo è basta un controesempio numerico; il primo da provare è $\vec 0 = (0, 0)$, che deve appartenere a ogni sottospazio.

1. $3a - 2b = 0$: sì

$(0, 0)$ soddisfa l'equazione, quindi il test veloce non esclude nulla: serve la verifica completa.

(S). Siano $w_1 = (a_1, b_1)$, $w_2 = (a_2, b_2) \in W_1$. Le ipotesi sono

$$3a_1 - 2b_1 = 0, \qquad 3a_2 - 2b_2 = 0.$$

La somma $w_1 + w_2 = (a_1 + a_2,\ b_1 + b_2)$ sta in $W_1$ se il triplo della prima componente meno il doppio della seconda fa $0$:

$$3(a_1 + a_2) - 2(b_1 + b_2) = 3a_1 + 3a_2 - 2b_1 - 2b_2 = (3a_1 - 2b_1) + (3a_2 - 2b_2) = 0 + 0 = 0 \ \checkmark$$

(si è sviluppato il prodotto e poi si sono raggruppati i termini con indice 1 e quelli con indice 2, per far comparire le ipotesi).

(P). Sia $w = (a, b) \in W_1$, cioè $3a - 2b = 0$, e $\lambda \in \mathbb{R}$. Allora $\lambda w = (\lambda a, \lambda b)$ e

$$3(\lambda a) - 2(\lambda b) = \lambda (3a - 2b) = \lambda \cdot 0 = 0 \ \checkmark$$

$W_1$ è un sottospazio. Geometricamente è la retta $y = \frac32 x$, che passa per l'origine.

2. $a - 2b = 3$: no

Si prova il vettore nullo: $0 - 2 \cdot 0 = 0 \ne 3$, quindi $(0, 0) \notin W_2$. Ogni sottospazio contiene $\vec 0$, quindi $W_2$ non è un sottospazio. È una retta che non passa per l'origine; il problema è il termine noto $3 \ne 0$.

3. $a^2 - b = 0$: no

Qui $(0, 0) \in W_3$ ($0 - 0 = 0$), quindi bisogna lavorare di più.

Tentativo di (S). Siano $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in W_3$, cioè $a_1^2 - b_1 = 0$ e $a_2^2 - b_2 = 0$. Per la somma:

$$(a_1 + a_2)^2 - (b_1 + b_2) = a_1^2 + 2a_1 a_2 + a_2^2 - b_1 - b_2 = \underbrace{(a_1^2 - b_1)}_{0} + \underbrace{(a_2^2 - b_2)}_{0} + 2a_1 a_2 = 2a_1 a_2.$$

Il doppio prodotto $2a_1 a_2$ non è zero in generale: le ipotesi non dicono che $a_1$ o $a_2$ siano nulli. Questo suggerisce che $W_3$ non è chiuso per la somma; per dimostrarlo si costruisce un controesempio con $a_1, a_2 \ne 0$.

Controesempio. $(1, 1) \in W_3$ ($1 - 1 = 0$) e $(2, 4) \in W_3$ ($4 - 4 = 0$), ma la somma $(3, 5)$ dà $9 - 5 = 4 \ne 0$: $(3, 5) \notin W_3$. $W_3$ non è un sottospazio.

Geometricamente $W_3$ è la parabola $y = x^2$: il quarto vertice del parallelogramma costruito su due punti della parabola non sta sulla parabola.

4. Primo quadrante: no

$(0, 0) \in W_4$, ed è vero che (S) vale: se $a_1, b_1, a_2, b_2 \ge 0$ allora anche $a_1 + a_2 \ge 0$ e $b_1 + b_2 \ge 0$.

Ma (P) fallisce per gli scalari negativi. Controesempio: $(3, 2) \in W_4$ e $\lambda = -1$ danno $(-3, -2) \notin W_4$. $W_4$ non è un sottospazio: manca l'opposto dei suoi vettori.

Riepilogo

Gli unici sottospazi di $\mathbb{R}^2$ sono $\{\vec 0\}$, le rette per l'origine e $\mathbb{R}^2$.

Errori comuni

• Dire "contiene $\vec 0$, quindi è un sottospazio" (casi 3 e 4).
• Verificare (S) con due vettori specifici e concludere che vale sempre: per il "sì" serve la verifica generica.
• Controllare il prodotto solo con $\lambda > 0$: nel caso 4 è proprio $\lambda < 0$ a far fallire la proprietà.