Coniche e quadriche

Lezione 42, prima parte (videolezione n. 42: il prof dà "cenni sulla teoria delle coniche"). Prerequisiti: Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →, Segno di una forma bilineare simmetricaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →. Esercizio: Esercizio 109 · riconoscere una conica e trovarne la forma canonica.

Che cos'è una conica

Definizione. Una conica del piano affine $\mathbb{A}^2$ è l'insieme dei punti $(x, y)$ che soddisfano un'equazione di secondo grado $$a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33} = 0,$$ con $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ non tutti nulli.

I $2$ davanti ai termini misti servono a scrivere tutto con matrici simmetriche (come per le forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →). Le matrici associate sono

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix} \ \ (\text{parte quadratica}), \qquad \tilde A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \ \ (\text{matrice completa}),$$

e l'equazione si scrive $(x, y, 1)\, \tilde A \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0$.

Il nome viene dal fatto che sono le curve che si ottengono tagliando un cono con un piano.

Le forme canoniche

Le prime tre sono le coniche non degeneri; le altre sono degeneri (si spezzano in rette, si riducono a un punto o sono vuote).

Teorema. Ogni conica, con un cambio di coordinate fatto da una rotazione e una traslazione (che conservano distanze e angoli), si porta in una delle forme canoniche della tabella.

Come si arriva alla forma canonica

Passo 1: la rotazione elimina il termine $xy$

La parte quadratica $q(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2$ ha matrice simmetrica $A$. Per il teorema spettraleUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche → esiste $P$ ortogonale (una rotazione, scegliendo $\det P = 1$) con $P^T A P = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$; con $\binom{x}{y} = P\binom{x'}{y'}$:

$$q = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 .$$

I termini di primo grado si trasformano anch'essi (con la stessa sostituzione), ma restano di primo grado.

Passo 2: la traslazione elimina i termini di primo grado

Si completano i quadrati: per esempio $\lambda_1 x'^2 + 2b x' = \lambda_1\left(x' + \frac{b}{\lambda_1}\right)^2 - \frac{b^2}{\lambda_1}$ (se $\lambda_1 \ne 0$), e si pone $X = x' + \frac{b}{\lambda_1}$. Se un autovalore è $0$ il termine di primo grado corrispondente non si può eliminare: è il caso della parabola.

Il centro. Per ellissi e iperboli (le coniche a centro, $\det A \ne 0$) si può fare prima la traslazione: il centro $(x_0, y_0)$ risolve il sistema

$$\begin{cases} a_{11} x + a_{12} y + a_{13} = 0 \\ a_{12} x + a_{22} y + a_{23} = 0 \end{cases}$$

(metà delle derivate parziali del polinomio uguali a zero), e traslando nel centro spariscono i termini di primo grado.

Riconoscere il tipo senza fare i conti

Rotazioni e traslazioni non cambiano $\det \tilde A$, né $\det A$ (e neppure la traccia di $A$). Calcolandoli sulle forme canoniche si ottiene:

Il segno di $\det A = \lambda_1 \lambda_2$ è il segno della parte quadraticaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica →: definita ($\det A > 0$) dà curve chiuse, indefinita ($\det A < 0$) dà curve con due direzioni asintotiche, degenere ($\det A = 0$) dà la parabola.

Esempio completo

$$\mathcal C: \ 5x^2 + 4xy + 2y^2 - 24x - 12y + 18 = 0 .$$

Matrici. $a_{11} = 5$, $a_{12} = 2$ (metà di $4$), $a_{22} = 2$, $a_{13} = -12$, $a_{23} = -6$ (metà di $-24$ e $-12$), $a_{33} = 18$:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \tilde A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -12 \\ 2 & 2 & -6 \\ -12 & -6 & 18 \end{pmatrix}.$$

Tipo. $\det A = 10 - 4 = 6 > 0$; $\det \tilde A = 5(36 - 36) - 2(36 - 72) - 12(-12 + 24) = 0 + 72 - 144 = -72 \ne 0$; $\det \tilde A \cdot \operatorname{tr} A = -72 \cdot 7 < 0$: ellisse reale.

Centro. $5x + 2y - 12 = 0$, $2x + 2y - 6 = 0$. Sottraendo: $3x - 6 = 0$, $x = 2$, poi $y = 1$. Centro $(2, 1)$. Con $x = 2 + X$, $y = 1 + Y$ i termini di primo grado spariscono e il termine noto diventa il valore del polinomio nel centro, $5 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 2 - 48 - 12 + 18 = -12$:

$$5X^2 + 4XY + 2Y^2 = 12 .$$

Rotazione. $A$ ha autovalori $6$ e $1$ con autovettori $(2, 1)$ e $(-1, 2)$ (calcolati nella nota Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →). Negli assi ruotati:

$$6x'^2 + y'^2 = 12 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x'^2}{2} + \frac{y'^2}{12} = 1 .$$

Ellisse di centro $(2, 1)$, semiasse $\sqrt2$ nella direzione di $(2, 1)$ e semiasse $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ nella direzione di $(-1, 2)$.

Controllo: il punto $(2, 1) + \sqrt2 \cdot \frac{(2, 1)}{\sqrt5}$ (estremo del semiasse minore) dà $5X^2 + 4XY + 2Y^2 = \frac{2}{5}(5 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 2) = \frac25 \cdot 30 = 12$ ✓.

Circonferenze e sfere

La sfera di centro $C = (c_1, c_2, c_3)$ e raggio $R > 0$ è l'insieme dei punti a distanza $R$ da $C$:

$$(x - c_1)^2 + (y - c_2)^2 + (z - c_3)^2 = R^2 .$$

In $\mathbb{A}^2$ la stessa equazione senza $z$ dà la circonferenza.

Riconoscerla. Un'equazione $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ (stesso coefficiente sui quadrati, nessun termine misto) si riconosce completando i quadrati. Esempio nel piano: $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ diventa $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0$, cioè $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$: circonferenza di centro $(2, -1)$ e raggio $3$. (Se a destra venisse un numero negativo non ci sarebbero punti reali.)

Sfera tagliata da un piano. Se $d = d(C, \pi) < R$, l'intersezione è una circonferenza con

• centro $H$ = proiezione ortogonale di $C$ su $\pi$;
• raggio $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ (Pitagora nel triangolo $C$, $H$, punto della circonferenza).

Se $d = R$ il piano è tangente (un solo punto, $H$); se $d > R$ non si incontrano.

Esempio. Sfera di centro $C = (1, 2, 3)$ e raggio $3$, piano $\pi: x + 2y + 2z = 5$. Distanza $d = \frac{|1 + 4 + 6 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2 < 3$: circonferenza di raggio $\sqrt{9 - 4} = \sqrt5$ e centro $H = C - \frac{6}{9}(1, 2, 2) = \left(\frac13, \frac23, \frac53\right)$ (controllo: $\frac13 + \frac43 + \frac{10}{3} = 5$ ✓).

Cenni alle quadriche

Una quadrica è l'analogo in $\mathbb{A}^3$: gli zeri di un polinomio di secondo grado in $x, y, z$, con parte quadratica di matrice $A$ simmetrica $3 \times 3$ e matrice completa $\tilde A$ $4 \times 4$. Con rotazione (teorema spettrale) e traslazione si arriva alle forme canoniche; le principali non degeneri sono:

Casi degeneri: coni ($\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$), cilindri (manca una variabile, per esempio $x^2 + y^2 = 1$), coppie di piani. La sfera è l'ellissoide con $a = b = c$.

Errori comuni

• Dimenticare di dimezzare i coefficienti dei termini misti e di primo grado nelle matrici.
• Applicare la rotazione e poi dimenticare di trasformare anche i termini di primo grado: la sostituzione $\binom{x}{y} = P\binom{x'}{y'}$ va fatta in tutto il polinomio. Per le coniche a centro conviene traslare prima.
• Confondere ellisse immaginaria e reale: $x^2 + y^2 = -1$ ha $\det A > 0$ e $\det \tilde A \ne 0$ ma nessun punto.
• Dimenticare che $\det A = 0$ non significa degenere: la parabola ha $\det A = 0$ ma $\det \tilde A \ne 0$.