Campi

Lezione 1 (videolezione n. 1). Seguito: Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →.

Perché servono i campi

In fisica un vettore (per esempio uno spostamento) non è descritto da un solo numero: servono anche una direzione e un verso. Si disegna come un segmento orientato: la retta su cui giace dà la direzione, la freccia il verso, la lunghezza il modulo.

Con i vettori si fanno due operazioni:

1. la somma di due vettori, con la regola del parallelogramma: $v + w$ è la diagonale del parallelogramma che ha per lati $v$ e $w$;
2. il prodotto di un numero per un vettore: per esempio $v + v$ ha la stessa direzione e lo stesso verso di $v$ ma lunghezza doppia, e si scrive $2v$.

Attenzione: nel secondo caso non si moltiplicano due vettori, si moltiplica un numero (in fisica si dice uno scalare) per un vettore, e il risultato è un vettore.

Prima di definire i vettori in generale bisogna allora decidere con che tipo di numeri si lavora. La risposta del corso è: con i numeri di un campo.

Il problema con N e Z

Definizione di campo

Un campo è un insieme non vuoto $K$ con due operazioni, la somma $+$ e il prodotto $\cdot$, tali che per ogni $a, b, c \in K$:

1. $(a + b) + c = a + (b + c)$ (associativa della somma);
2. $a + b = b + a$ (commutativa della somma);
3. esiste un elemento $0 \in K$ con $0 + a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro della somma);
4. per ogni $a$ esiste $-a \in K$ con $a + (-a) = 0$ (opposto);
5. $(a b) c = a (b c)$ (associativa del prodotto);
6. $a b = b a$ (commutativa del prodotto);
7. esiste un elemento $1 \in K$, con $1 \ne 0$, tale che $1 \cdot a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro del prodotto);
8. per ogni $a \ne 0$ esiste $a^{-1} = \frac1a \in K$ con $a \cdot a^{-1} = 1$ (inverso);
9. $(a + b) c = a c + b c$ e $c (a + b) = c a + c b$ (distributive).

Le proprietà 1–4 riguardano solo la somma, le 5–8 solo il prodotto, la 9 le lega. La richiesta $1 \ne 0$ serve a escludere il caso banale dell'insieme con un solo elemento.

A cosa servono queste proprietà: risolvere $ax + b = 0$

In tutto il corso si risolvono equazioni di primo grado e sistemi lineari. Per risolvere $ax + b = 0$ con $a \ne 0$:

1. si somma a entrambi i membri l'opposto di $b$ (proprietà 4): $ax = -b$;
2. si moltiplicano entrambi i membri per l'inverso di $a$ (proprietà 8): $x = -\frac{b}{a}$.

In $\mathbb{N}$ manca il passo 1 (non ci sono gli opposti), in $\mathbb{Z}$ manca il passo 2 (non ci sono gli inversi). Per questo gli scalari del corso sono sempre elementi di un campo.

Esempi di campi

Campi infiniti.

• $\mathbb{Q}$, i razionali;
• $\mathbb{R}$, i reali: più grande di $\mathbb{Q}$ (per esempio $\sqrt2 \in \mathbb{R}$ ma $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$);
• $\mathbb{C}$, i complessi: si aggiunge l'unità immaginaria $i$, con $i^2 = -1$, per poter risolvere equazioni come $x^2 = -1$, che in $\mathbb{R}$ non hanno soluzione perché un quadrato reale è sempre $\ge 0$.

Campi finiti. Esistono anche campi con un numero finito di elementi (non si usano nel corso, ma hanno applicazioni importanti, per esempio nei codici per le telecomunicazioni).

Campo con 2 elementi $\{0, 1\}$. Gli elementi $0$ e $1$ ci devono essere (neutri di somma e prodotto) e sono diversi. Quasi tutte le somme sono obbligate: $0 + 0 = 0$, $0 + 1 = 1 + 0 = 1$. Resta $1 + 1$: non può valere $1$, perché allora nessun elemento sommato a $1$ darebbe $0$ e mancherebbe l'opposto di $1$. Quindi $1 + 1 = 0$: $1$ è l'opposto di se stesso.

Campo con 3 elementi $\{0, 1, 2\}$: si fanno i conti "sull'orologio con 3 ore", cioè si prende il resto della divisione per 3. Per esempio $2 + 2 = 4$, che sull'orologio diventa $1$; $2 \cdot 2 = 4 \to 1$; $1 + 2 = 3 \to 0$.

Si controlla che ogni elemento non nullo ha un inverso: $1 \cdot 1 = 1$ e $2 \cdot 2 = 1$.

Con 4 elementi l'orologio non funziona. Facendo i conti con i resti della divisione per 4, la riga del $2$ nella tabella del prodotto è $2 \cdot 0 = 0$, $2 \cdot 1 = 2$, $2 \cdot 2 = 4 \to 0$, $2 \cdot 3 = 6 \to 2$: non compare mai $1$, quindi $2$ non ha inverso e $\{0, 1, 2, 3\}$ con queste operazioni non è un campo.

Provando con $5, 6, 7, \dots$ elementi si scopre che l'orologio dà un campo con $2, 3, 5, 7, 11, \dots$ elementi e non con $4, 6, 8, 9, 10, \dots$: funziona esattamente quando il numero di elementi è primo. (Se $m = p \cdot q$ con $p, q > 1$, allora $p \cdot q \to 0$ e $p$ non può essere invertibile.)

Riassunto

Nel resto del corso $K$ indica un campo qualsiasi; nella pratica quasi sempre $K = \mathbb{R}$, a volte $K = \mathbb{C}$ (per esempio per gli autovalori complessi).

Errori comuni

• Pensare che i campi siano tutti infiniti: il campo con due elementi è un campo a tutti gli effetti.
• Dimenticare che l'inverso si chiede solo per gli elementi diversi da $0$: lo $0$ non è mai invertibile ($0 \cdot b = 0 \ne 1$).
• Confondere "numero" e "vettore": in $2v$ il $2$ è uno scalare del campo, $v$ è un vettore; sono oggetti di natura diversa.