Esercizio 43rango con parametro e sistemi incompatibili (compitino 2023)

Testo (compitino del 22 aprile 2023, esercizio 3). Consideriamo la matrice

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & t & 2 \end{pmatrix}.$$

(a) Ridurre $A$ in forma a scala e determinare il suo rango al variare di $t \in \mathbb{R}$. (b) Consideriamo il vettore colonna $B_1 = (3, -1, 4, 2)$. Esiste un valore di $t$ per il quale il sistema $AX = B_1$ ha soluzione? (c) Poniamo ora $t = 2$. Determinare l'insieme $S$ delle soluzioni del sistema $AX = B_2$, ove $B_2 = (2, -3, 0, -2)$. L'insieme $S$ così trovato è un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^4$?

Teoria usata: Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →, Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →.

(a) Forma a scala e rango

Si riduce $A$ annotando le operazioni fatte: nei punti (b) e (c) andranno ripetute, identiche, sulla colonna dei termini noti.

Primo passo (pivot $a_{11} = 1$; la seconda riga ha già lo $0$ in prima posizione):

• $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$: $(3, 1, 2, 4) - (3, -3, 0, 6) = (0, 4, 2, -2)$;
• $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1$: $(2, 2, t, 2) - (2, -2, 0, 4) = (0, 4, t, -2)$.

Secondo passo (pivot $2$ in posizione $(2, 2)$):

• $R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$: $(0, 4, 2, -2) - (0, 4, 2, -2) = (0, 0, 0, 0)$;
• $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2$: $(0, 4, t, -2) - (0, 4, 2, -2) = (0, 0, t - 2, 0)$.

Scambiando le ultime due righe (per avere le righe nulle in fondo):

$$A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & t - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

• $t \ne 2$: tre righe non nulle, $\operatorname{rango}(A) = 3$.
• $t = 2$: anche la terza riga si annulla, $\operatorname{rango}(A) = 2$.

In ogni caso $\det A = 0$ (c'è sempre una riga nulla): il motivo è che la terza riga di $A$ è combinazione delle prime due, indipendentemente da $t$:

$$3R_1 + 2R_2 = (3, -3, 0, 6) + (0, 4, 2, -2) = (3, 1, 2, 4) = R_3 .$$

(b) Esiste $t$ per cui $AX = B_1$ ha soluzione?

Si ripetono le stesse operazioni sulla colonna $B_1 = (3, -1, 4, 2)$:

• $R_3 - 3R_1$: $4 - 9 = -5$; poi $R_3 - 2R_2$: $-5 - 2 \cdot (-1) = -3$;
• $R_4 - 2R_1$: $2 - 6 = -4$; poi $R_4 - 2R_2$: $-4 - 2 \cdot (-1) = -2$.

$$(A \mid B_1) \longrightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & t - 2 & 0 & -2 \end{array}\right)$$

La terza riga è l'equazione $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = -3$, cioè $0 = -3$: impossibile per ogni $t$ (il parametro non compare in quella riga). Quindi il sistema non ha soluzioni per nessun valore di $t$.

In termini di Rouché-CapelliAX = B ha soluzioni se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →: per $t \ne 2$ si ha $\operatorname{rango}(A) = 3$ e $\operatorname{rango}(A \mid B_1) = 4$; per $t = 2$, $\operatorname{rango}(A) = 2$ e $\operatorname{rango}(A \mid B_1) = 3$ (le righe con $-3$ e $-2$ sono proporzionali tra loro). I ranghi non coincidono mai.

Perché, senza conti. Siccome $R_3 = 3R_1 + 2R_2$, la terza equazione ha primo membro uguale a $3 \cdot$(prima) $+ 2 \cdot$(seconda). Perché il sistema sia compatibile, lo stesso deve valere per i termini noti: $b_3 = 3b_1 + 2b_2$. Per $B_1$: $3 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 7 \ne 4$. Il sistema chiede che una stessa quantità valga $7$ e $4$.

(c) $t = 2$, $AX = B_2$

Condizione di compatibilità per $B_2 = (2, -3, 0, -2)$: $3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) = 0 = b_3$ ✓. Rifacendo le operazioni:

• $R_3$: $0 - 3 \cdot 2 = -6$, poi $-6 - 2 \cdot (-3) = 0$;
• $R_4$: $-2 - 2 \cdot 2 = -6$, poi $-6 - 2 \cdot (-3) = 0$.

Con $t = 2$ anche i coefficienti di $R_4$ sono nulli:

$$(A \mid B_2) \longrightarrow \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$

$\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \mid B_2) = 2$: il sistema ha soluzioni, e dipendono da $4 - 2 = 2$ parametri (numero di incognite meno rango; si dice che ci sono $\infty^2$ soluzioni).

Risoluzione. Pivot nelle colonne $1$ e $2$, quindi si scelgono come parametri le altre incognite: $x_3 = s$, $x_4 = u$.

• Seconda equazione: $2x_2 + s - u = -3$, quindi $x_2 = \dfrac{-3 - s + u}{2}$.
• Prima equazione: $x_1 = 2 + x_2 - 2u = 2 + \dfrac{-3 - s + u}{2} - 2u = \dfrac{1 - s - 3u}{2}$.

Per evitare le frazioni si può scegliere invece $x_2 = s$ e $x_4 = u$ come parametri (anche questa scelta va bene, perché dalla seconda equazione si ricava $x_3$ direttamente): $x_3 = -3 - 2s + u$, $x_1 = 2 + s - 2u$.

$$S = \{(2 + s - 2u, \ s, \ -3 - 2s + u, \ u) : s, u \in \mathbb{R}\} = (2, 0, -3, 0) + \langle (1, 1, -2, 0), \ (-2, 0, 1, 1) \rangle .$$

Verifica della soluzione particolare $(2, 0, -3, 0)$ (con $t = 2$):

$$A\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 - 3 + 0 \\ 6 + 0 - 6 + 0 \\ 4 + 0 - 6 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = B_2 \ ✓$$

$S$ è un sottospazio? No. Un sottospazio deve contenere il vettore nullo, ma $X = 0$ dà $A \cdot 0 = 0 \ne B_2$. Le soluzioni di un sistema non omogeneo formano un sottospazio affineUn sottospazio vettoriale traslato di un vettore fisso: qui il piano ⟨(1,1,−2,0), (−2,0,1,1)⟩ spostato di (2,0,−3,0). Non passa per l'origine., cioè il nucleo di $A$ (che è un sottospazio) traslato di una soluzione particolare.

Errori comuni

• Discutere il rango come se dipendesse solo dal determinante: qui $\det A = 0$ per ogni $t$, eppure il rango cambia (3 o 2).
• In (b) guardare solo la riga con $t$: l'incompatibilità sta in una riga dove $t$ non compare.
• Rispondere "sì, è un sottospazio, perché è descritto da parametri": anche un piano che non passa per l'origine ha equazioni parametriche; il test è se contiene $0$.