Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari

Lezioni 25 (fine) e 26 (videolezioni n. 25 e 26). È un'applicazione della DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →: il prof la presenta come esempio di come gli autovalori servono fuori dall'algebra lineare. Esercizio svolto: Esercizio 70 · sistema di equazioni differenziali con l'esponenziale di una matrice.

Il caso di una sola equazione

Si cerca una funzione $y(x)$ tale che $$y' = a\, y, \qquad y(0) = \bar y,$$ con $a \in \mathbb{R}$ fissato. La funzione che derivata ridà se stessa (per un coefficiente) è l'esponenziale: $y(x) = \bar y\, e^{ax}$. Verifica:

• derivando, $\bar y$ è una costante e $e^{ax}$ è una funzione composta, quindi $y'(x) = \bar y \cdot e^{ax} \cdot a = a\, y(x)$ ✓;
• in $x = 0$: $y(0) = \bar y\, e^0 = \bar y$ ✓ (la condizione iniziale).

Da un'equazione di ordine alto a un sistema del primo ordine

Un'equazione con derivate di ordine superiore, per esempio $$y''' + 3y'' - 2y' - y = 0,$$ si trasforma in un sistema in cui compaiono solo derivate prime. Si danno nomi nuovi alla funzione e alle sue derivate: $$y_1 = y, \qquad y_2 = y', \qquad y_3 = y'' .$$ Allora $y_1' = y_2$, $y_2' = y_3$ e $y_3' = y''' = -3y'' + 2y' + y = -3y_3 + 2y_2 + y_1$. Il sistema $$\begin{cases} y_1' = y_2 \\ y_2' = y_3 \\ y_3' = y_1 + 2y_2 - 3y_3 \end{cases} \quad\text{cioè}\quad \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$$ è equivalente all'equazione di partenza. Il prezzo: più equazioni. Il guadagno: solo derivate prime, e una scrittura matriciale.

Sistemi lineari di equazioni differenziali

Un sistema come $$\begin{cases} y_1' = 5y_1 - 6y_2 \\ y_2' = 2y_1 - 2y_2 \end{cases}$$ si scrive, come i sistemi lineariUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → ordinari, in forma matriciale: $$Y' = A\, Y, \qquad Y(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}, \quad Y(0) = \bar Y = \begin{pmatrix} \bar y_1 \\ \bar y_2 \end{pmatrix}.$$ Qui le incognite non sono numeri ma funzioni: $Y(x)$ è un vettore le cui componenti dipendono da $x$, e $Y'$ è il vettore delle derivate.

Formalmente è identico al caso di una sola equazione, con la matrice $A$ al posto del numero $a$. Viene spontaneo provare con $$Y(x) = e^{A x}\, \bar Y .$$ Bisogna però dare un senso a "$e$ elevato a una matrice".

Definizione dell'esponenziale di una matrice

Dall'analisi: per ogni $x \in \mathbb{R}$ vale lo sviluppo in serie $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} .$$ In questa formula compaiono solo somme e potenze, che si fanno anche con le matrici quadrate. Si sostituisce allora $x$ con $A$ (e $1$ con $I$):

Definizione. Per $A \in M_n(\mathbb{R})$: $$e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} .$$

Che la serie converga per ogni matrice (come per ogni numero reale) si dimostra in analisi; qui si prende come definizione. Il risultato è una matrice $n \times n$.

Come si calcola

Matrice diagonale. Se $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, le potenze sono facili: $D^k = \operatorname{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ (si elevano gli elementi della diagonale). Nella serie, sulla posizione $(i, i)$ si somma $1 + \lambda_i + \frac{\lambda_i^2}{2!} + \dots = e^{\lambda_i}$, fuori dalla diagonale solo zeri: $$e^D = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$

Matrice diagonalizzabile. Se $A = S D S^{-1}$, come per le potenze si semplificano tutte le coppie $S^{-1}S$ interne: $$A^k = S D S^{-1}\, S D S^{-1} \cdots S D S^{-1} = S D^k S^{-1}.$$ Anche $I = S I S^{-1}$. Allora ogni termine della serie ha $S$ a sinistra e $S^{-1}$ a destra, e si raccolgono (a sinistra $S$, a destra $S^{-1}$: l'ordine conta): $$e^A = S \left( I + D + \frac{D^2}{2!} + \dots \right) S^{-1} = S\, e^D\, S^{-1}.$$

Formula. Se $A = S D S^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$, allora $$e^{A} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} S^{-1}, \qquad e^{A x} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n x} \end{pmatrix} S^{-1}.$$

La seconda formula viene dalla prima applicata alla matrice $A x = S (D x) S^{-1}$ ($x$ è un numero). Quindi le soluzioni del sistema sono combinazioni lineari di $e^{\lambda_1 x}, \dots, e^{\lambda_n x}$: sono gli autovalori a decidere il comportamento delle soluzioni (se crescono, decrescono, oscillano).

Ricetta:

1. autovalori e autovettori di $A$; controllare che sia diagonalizzabile;
2. $D$ con gli autovalori, $S$ con gli autovettori in colonna (stesso ordine), poi $S^{-1}$ (l'unica parte un po' lunga);
3. $e^{Ax} = S\, e^{Dx}\, S^{-1}$ (due prodotti);
4. $Y(x) = e^{Ax}\, \bar Y$.

Se $A$ non è diagonalizzabile la formula non si applica; si usa la Forma canonica di JordanUna matrice non diagonalizzabile (con autovalori nel campo) è simile a una matrice di Jordan: diagonale a blocchi, con l'autovalore sulla diagonale di ogni blocco e degli 1 subito sopra. Il numero di blocchi di λ è la molteplicità geometrica, la somma delle loro dimensioni quella algebrica; la base si costruisce con catene di autovettori generalizzati.Forma canonica di Jordan →, che è "quasi diagonale" (non fa parte del programma d'esame, il prof la cita soltanto).

Esempio completo (lezione 26)

$A = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$.

Autovalori. $\det(A - \lambda I) = (5 - \lambda)(-2 - \lambda) - (-6)(2) = \lambda^2 - 3\lambda - 10 + 12 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 2)(\lambda - 1)$. Autovalori $2$ e $1$: reali e distinti, quindi $A$ è diagonalizzabile.

Autovettori.

• $\lambda = 2$: $A - 2I = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$, entrambe le equazioni dicono $x_1 = 2x_2$; con $x_2 = 1$: $v_1 = (2, 1)$.
• $\lambda = 1$: $A - I = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$, cioè $x_1 = \frac32 x_2$; con $x_2 = 2$ (niente frazioni): $v_2 = (3, 2)$.

Matrici. $$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad S = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \det S = 4 - 3 = 1, \quad S^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ (per una $2 \times 2$: si scambiano gli elementi diagonali, si cambia segno agli altri, si divide per il determinante; vedi Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →).

Esponenziale. $$e^{Ax} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{2x} & 0 \\ 0 & e^{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e^{2x} & 3e^{x} \\ e^{2x} & 2e^{x} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4e^{2x} - 3e^{x} & -6e^{2x} + 6e^{x} \\ 2e^{2x} - 2e^{x} & -3e^{2x} + 4e^{x} \end{pmatrix}.$$ Controllo in $x = 0$: $e^{A \cdot 0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$ ✓ (come deve essere: $e^O = I$).

Soluzione. $$\begin{cases} y_1(x) = (4\bar y_1 - 6\bar y_2)\, e^{2x} + (-3\bar y_1 + 6\bar y_2)\, e^{x} \\ y_2(x) = (2\bar y_1 - 3\bar y_2)\, e^{2x} + (-2\bar y_1 + 4\bar y_2)\, e^{x} \end{cases}$$

Con $\bar Y = (1, 0)$: $y_1 = 4e^{2x} - 3e^{x}$, $y_2 = 2e^{2x} - 2e^x$. Verifica della prima equazione: $y_1' = 8e^{2x} - 3e^x$ e $5y_1 - 6y_2 = 20e^{2x} - 15e^x - 12e^{2x} + 12e^x = 8e^{2x} - 3e^x$ ✓.

Errori comuni

• Calcolare $e^A$ elevando $e$ a ogni elemento di $A$: vale solo per le matrici diagonali. In generale $e^A$ va calcolato con $S e^D S^{-1}$.
• Scrivere $e^{Ax} = e^{Dx}$, dimenticando $S$ e $S^{-1}$ (o mettendoli in ordine sbagliato: $S$ a sinistra, $S^{-1}$ a destra quando $A = SDS^{-1}$).
• Moltiplicare $\bar Y$ a sinistra: la soluzione è $e^{Ax}\bar Y$ con $\bar Y$ colonna a destra.
• Usare la formula con una matrice non diagonalizzabile.