Spazi affini, rette e piani

Lezioni 39 e 40 (videolezioni n. 39–40). Prerequisiti: Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali →, Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →. Seguito: Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Fasci di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →. Esercizi: Esercizio 104 · rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025), Esercizio 108 · un sottospazio affine di A4 (appello 1/2/2022).

Punti e vettori

In $\mathbb{R}^3$ una terna $(1, 2, 0)$ può indicare due cose diverse: una posizione (un punto dello spazio) oppure uno spostamento (una freccia, che si può applicare in qualunque punto). Finora, negli spazi vettoriali, c'era solo il secondo significato, e c'era un punto privilegiato, l'origine $\vec 0$: un sottospazio vettoriale deve passare per l'origine. La retta $y = x + 1$ del piano non è un sottospazio vettoriale, eppure è un oggetto geometrico del tutto ragionevole. Lo spazio affine serve a trattare anche questi oggetti.

Definizione. Lo spazio affine reale $n$-dimensionale $\mathbb{A}^n = \mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}$ è l'insieme $\mathbb{R}^n$ i cui elementi si chiamano punti, insieme allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ e alle due operazioni:

• punto più vettore: $P + v$ è il punto ottenuto spostando $P$ del vettore $v$ (componente per componente);
• punto meno punto: $Q - P$ è l'unico vettore $v$ tale che $P + v = Q$, cioè il vettore che va da $P$ a $Q$, scritto anche $\overrightarrow{PQ}$.

Proprietà: $(P + v) + w = P + (v + w)$; $P + \vec 0 = P$; $(Q - P) + (R - Q) = R - P$ (andare da $P$ a $Q$ e poi da $Q$ a $R$ equivale ad andare da $P$ a $R$).

Esempio. $P = (1, 2, 0)$, $Q = (4, 0, 1)$: $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3, -2, 1)$ e infatti $P + (3, -2, 1) = (4, 0, 1) = Q$.

Che cosa non ha senso. Sommare due punti ($P + Q$ dipende dalla scelta dell'origine: spostando l'origine il risultato cambia). Ha senso invece il punto medio

$$M = P + \tfrac12 (Q - P) = \frac{P + Q}{2},$$

perché è una combinazione con coefficienti di somma $1$. Esempio: il punto medio di $P = (1, 2, 0)$ e $Q = (4, 0, 1)$ è $\left(\frac52, 1, \frac12\right)$.

Sottospazi affini

Definizione. Un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ è un insieme della forma $$L = P + W = \{ P + w : w \in W \},$$ con $P$ un punto e $W$ un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$, detto spazio direttore (o giacitura) di $L$. La dimensione di $L$ è $\dim W$.

In $\mathbb{A}^2$ gli iperpiani sono le rette, in $\mathbb{A}^3$ sono i piani.

Fatti fondamentali.

• Il punto base si può cambiare: se $Q \in L$ allora $L = Q + W$. (Se $Q = P + w_0$, ogni punto $P + w$ si riscrive $Q + (w - w_0)$, e $w - w_0 \in W$.)
• Lo spazio direttore è determinato da $L$: $W = \{ Q - Q' : Q, Q' \in L \}$, l'insieme dei vettori che congiungono due punti di $L$.
• $L$ è un sottospazio vettoriale se e solo se passa per l'origine ($\vec 0 \in L$, cioè $P \in W$).

Equazioni parametriche

Scelta una base $\{w_1, \dots, w_r\}$ di $W$, ogni punto di $L$ è

$$X = P + t_1 w_1 + \dots + t_r w_r, \qquad t_1, \dots, t_r \in \mathbb{R}.$$

Scritte componente per componente sono le equazioni parametriche di $L$: $r$ parametri liberi, uno per ogni direzione.

Retta per due punti $A \ne B$: punto base $A$, vettore direttore $B - A$:

$$X = A + t(B - A).$$

Per $t = 0$ si ottiene $A$, per $t = 1$ si ottiene $B$, per $t = \frac12$ il punto medio, per $0 \le t \le 1$ il segmento $AB$.

Esempio. Retta per $A = (1, 2, 0)$ e $B = (3, 1, 1)$: $B - A = (2, -1, 1)$, e

$$r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases}$$

Piano per tre punti non allineati $A, B, C$ (cioè $B - A$ e $C - A$ non proporzionali):

$$X = A + s(B - A) + t(C - A).$$

Esempio. $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$: $B - A = (-1, 2, 0)$, $C - A = (-1, 0, 3)$, non proporzionali, e

$$\pi: \ (x, y, z) = (1 - s - t, \ 2s, \ 3t).$$

Equazioni cartesiane

Teorema. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile $AX = B$ in $n$ incognite è un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ con spazio direttore $W = \operatorname{Ker} A$ e dimensione $n - \operatorname{rango}(A)$. Viceversa ogni sottospazio affine si può descrivere così.

La prima parte è la struttura delle soluzioniUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → di un sistema: soluzione particolare $X_0$ più soluzioni dell'omogeneo, cioè $X_0 + \operatorname{Ker} A$. Per il viceversa: si scrivono le equazioni cartesiane $AX = 0$ di $W$ (come in Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →) e si sceglie $B = AP$, così che $P$ sia una soluzione.

Conteggio delle equazioni. Un sottospazio affine di dimensione $r$ in $\mathbb{A}^n$ richiede $n - r$ equazioni indipendenti: un iperpiano una sola, una retta di $\mathbb{A}^3$ due.

L'equazione di un iperpiano e il vettore normale

Un iperpiano ha una sola equazione

$$a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b, \qquad (a_1, \dots, a_n) \ne \vec 0 .$$

Il suo spazio direttore è $W = \{ x : a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0 \} = \{ x : n \cdot x = 0 \}$ con $n = (a_1, \dots, a_n)$: è l'insieme dei vettori ortogonali a $n$. Quindi:

I coefficienti delle incognite formano un vettore $n$ ortogonale all'iperpiano (vettore normale). Il termine noto decide solo "dove" sta l'iperpiano: iperpiani con lo stesso $n$ e termini noti diversi sono paralleli.

Piano con normale assegnata per un punto. Il piano per $P_0$ ortogonale a $n$ è $n \cdot (X - P_0) = 0$: i punti $X$ tali che il vettore da $P_0$ a $X$ è ortogonale a $n$. Esempio: per $P_0 = (1, -1, 2)$ e $n = (2, 1, -3)$, $2(x - 1) + (y + 1) - 3(z - 2) = 0$, cioè $2x + y - 3z + 5 = 0$.

Retta di $\mathbb{A}^3$ come intersezione di due piani

$$r: \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \end{cases} \qquad \text{con } (a_1, b_1, c_1), (a_2, b_2, c_2) \text{ non proporzionali}.$$

Il vettore direttore $v$ deve essere ortogonale a entrambe le normali $n_1 = (a_1, b_1, c_1)$ e $n_2 = (a_2, b_2, c_2)$ (sta nello spazio direttore di entrambi i piani): lo si trova risolvendo il sistema omogeneo, oppure con il prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto → $v = n_1 \times n_2$.

Passare da un tipo di equazioni all'altro

Da parametriche a cartesiane: si eliminano i parametri. Per la retta $r$ dell'esempio ($x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = t$): dalla terza $t = z$, sostituendo nelle altre

$$r: \begin{cases} x - 2z - 1 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases}$$

Verifica con $B = (3, 1, 1)$: $3 - 2 - 1 = 0$ ✓, $1 + 1 - 2 = 0$ ✓.

Per il piano per $A$, $B$, $C$ dell'esempio: $s = \frac{y}{2}$, $t = \frac{z}{3}$, e dalla prima $x = 1 - \frac y2 - \frac z3$; moltiplicando per $6$:

$$\pi: \ 6x + 3y + 2z = 6 .$$

Verifica: $A$: $6 = 6$ ✓; $B$: $6 = 6$ ✓; $C$: $6 = 6$ ✓. In alternativa si cerca un vettore $n$ ortogonale a $B - A$ e $C - A$ (con il prodotto vettoriale: $(-1, 2, 0) \times (-1, 0, 3) = (6, 3, 2)$) e si impone il passaggio per $A$.

Da cartesiane a parametriche: si risolve il sistema.

Un piano. $x - 2y + z = 4$: si scelgono come parametri $y = s$, $z = t$ e si ricava $x = 4 + 2s - t$:

$$(x, y, z) = (4, 0, 0) + s(2, 1, 0) + t(-1, 0, 1).$$

Controllo: i due vettori direttori sono ortogonali alla normale $(1, -2, 1)$: $2 - 2 + 0 = 0$ ✓, $-1 + 0 + 1 = 0$ ✓.

Una retta. $x + y - z = 1$, $x - y = 3$: dalla seconda $x = 3 + y$; nella prima $z = x + y - 1 = 2 + 2y$. Con $y = t$:

$$(x, y, z) = (3, 0, 2) + t(1, 1, 2).$$

Controllo: $(1, 1, 2)$ è ortogonale a $(1, 1, -1)$ ($1 + 1 - 2 = 0$) e a $(1, -1, 0)$ ($1 - 1 = 0$) ✓.

Posizione reciproca

Due sottospazi affini $L = P + W$ e $L' = P' + W'$ si dicono:

• incidenti se $L \cap L' \ne \emptyset$;
• paralleli se $W \subseteq W'$ oppure $W' \subseteq W$ (per due rette: vettori direttori proporzionali; per due piani di $\mathbb{A}^3$: normali proporzionali);
• sghembi se $L \cap L' = \emptyset$ e $W \cap W' = \{\vec 0\}$ (non si incontrano e non hanno direzioni in comune).

L'intersezione si trova mettendo a sistema le equazioni cartesiane, oppure sostituendo le parametriche di uno nelle cartesiane dell'altro.

Due rette di $\mathbb{A}^3$

Le rette sghembe esistono solo da dimensione $3$ in su: in $\mathbb{A}^2$ due rette non parallele si incontrano sempre.

Criterio con i ranghi. Se $r: A_1 X = B_1$ e $s: A_2 X = B_2$ (due equazioni ciascuna), si considera il sistema di $4$ equazioni in $3$ incognite con matrice $A = \binom{A_1}{A_2}$ ($4 \times 3$) e completa $(A \mid B)$ ($4 \times 4$):

($\operatorname{rango}(A) = 2$ significa che le quattro normali generano un piano solo, cioè le due rette hanno lo stesso spazio direttore; i ranghi diversi significano sistema impossibile, cioè nessun punto comune.) In pratica: sghembe $\iff \det(A \mid B) \ne 0$.

Esempio. $r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 0)$ e $s: X = (0, 1, 1) + u(1, -1, 0)$. Direttori non proporzionali. Punti comuni: $1 + t = u$, $t = 1 - u$, $0 = 1$ (terza componente): impossibile. Sghembe.

Con $s': X = (2, 1, 0) + u(1, -1, 0)$ invece: $1 + t = 2 + u$, $t = 1 - u$, $0 = 0$. Dalle prime due $1 + 1 - u = 2 + u$, quindi $u = 0$ e $t = 1$: le rette si incontrano in $(2, 1, 0)$. Incidenti.

Retta e piano di $\mathbb{A}^3$

Retta $X = P + tv$, piano $n \cdot X = d$. Sostituendo: $n \cdot P + t\,(n \cdot v) = d$.

• $n \cdot v \ne 0$: un solo valore di $t$, la retta interseca il piano in un punto;
• $n \cdot v = 0$ ($v$ ortogonale alla normale, cioè parallelo al piano): la retta è parallela al piano; è contenuta nel piano se in più $n \cdot P = d$.

Due piani di $\mathbb{A}^3$

Normali proporzionali: piani paralleli (coincidenti se anche le equazioni sono proporzionali). Normali non proporzionali: si intersecano in una retta.

Errori comuni

• Sommare due punti o moltiplicare un punto per un numero: hanno senso $P + v$, $Q - P$ e le combinazioni con coefficienti di somma $1$ (come il punto medio).
• Contare male le equazioni: una retta di $\mathbb{A}^3$ ha due equazioni cartesiane; una sola equazione in tre incognite è un piano.
• Confondere vettore direttore e vettore normale: in un piano $ax + by + cz = d$, $(a, b, c)$ è ortogonale al piano, non parallelo.
• Dire "non parallele quindi incidenti" per due rette di $\mathbb{A}^3$: possono essere sghembe.