Esercizio 83U da un sistema, U⊥, proiezioni su U e U⊥

Testo (Appello del 7 febbraio 2023, esercizio 3). Nello spazio vettoriale euclideo $\mathbb{R}^4$, dotato del prodotto scalare usuale, sia $U$ l'insieme delle soluzioni del sistema

$$U: \begin{cases} x_1 - x_3 + 2x_4 = 0 \\ x_2 + 2x_3 - 2x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$$

• (a) Trovare la dimensione e una base di $U$.
• (b) Determinare una base di $U^\perp$ e scrivere un sistema di equazioni nelle incognite $x_1, x_2, x_3, x_4$ il cui insieme delle soluzioni sia $U^\perp$.
• (c) Dato il vettore $v = (1, 1, 1, 3)$, determinare le sue proiezioni ortogonali su $U$ e su $U^\perp$.
• (d) Si dica se esiste un sottospazio $W \subset \mathbb{R}^4$ tale che $U \oplus W = \mathbb{R}^4$ e $U^\perp \oplus W = \mathbb{R}^4$. Se $W$ esiste trovarne una base, altrimenti spiegare perché non può esistere.

Teoria usata: Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →, Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →.

(a) Dimensione e base di $U$

Chiamiamo $r_1 = (1, 0, -1, 2)$, $r_2 = (0, 1, 2, -2)$, $r_3 = (1, 1, 1, 0)$ le righe dei coefficienti. Si nota subito che $r_3 = r_1 + r_2$: la terza equazione è la somma delle prime due, quindi non aggiunge informazioni. Restano due equazioni indipendenti:

$$\dim U = 4 - 2 = 2 .$$

Dalle prime due, con $x_3, x_4$ liberi:

$$x_1 = x_3 - 2x_4, \qquad x_2 = -2x_3 + 2x_4 .$$

• $(x_3, x_4) = (1, 0)$: $u_1 = (1, -2, 1, 0)$;
• $(x_3, x_4) = (0, 1)$: $u_2 = (-2, 2, 0, 1)$.

Controllo nella terza equazione: $u_1$: $1 - 2 + 1 = 0$ ✓; $u_2$: $-2 + 2 + 0 = 0$ ✓.

(b) Base e sistema di $U^\perp$

Base: le righe del sistema

Ogni equazione del sistema dice che $x$ è ortogonale a una riga: $x_1 - x_3 + 2x_4 = r_1 \cdot x$. Quindi

$$U = \{x : r_1 \cdot x = r_2 \cdot x = r_3 \cdot x = 0\} = \langle r_1, r_2, r_3 \rangle^\perp$$

e, prendendo l'ortogonale di entrambi i membri, $U^\perp = \langle r_1, r_2, r_3 \rangle$Perché (W⊥)⊥ = W per ogni sottospazio W di ℝⁿ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → $= \langle r_1, r_2 \rangle$ (dato che $r_3 = r_1 + r_2$). Una base di $U^\perp$ è

$$\{r_1, r_2\} = \{(1, 0, -1, 2),\ (0, 1, 2, -2)\}.$$

Dimensione $2$, coerente con $\dim U + \dim U^\perp = 4$.

Sistema: le componenti della base di $U$

Per lo stesso motivo, un vettore $x$ sta in $U^\perp$ se e solo se è ortogonale a $u_1$ e a $u_2$:

$$U^\perp: \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \end{cases}$$

Controllo: $r_1$: $1 - 0 - 1 = 0$ ✓, $-2 + 0 + 2 = 0$ ✓; $r_2$: $0 - 2 + 2 = 0$ ✓, $0 + 2 - 2 = 0$ ✓.

Simmetria utile. Equazioni di $U$ ↔ base di $U^\perp$; base di $U$ ↔ equazioni di $U^\perp$.

(c) Proiezioni su $U$ e su $U^\perp$

Si scrive $v = v' + v''$ con $v' \in U$, $v'' \in U^\perp$: allora $v' = p_U(v)$ e $v'' = p_{U^\perp}(v)$. Basta trovarne una, l'altra è la differenza.

La base $\{u_1, u_2\}$ non è ortogonale ($u_1 \cdot u_2 = -2 - 4 + 0 + 0 = -6$), quindi niente formula diretta: si usa il metodo con le incognite.

$$v' = a_1 u_1 + a_2 u_2 = (a_1 - 2a_2,\ -2a_1 + 2a_2,\ a_1,\ a_2),$$ $$v'' = v - v' = (1 - a_1 + 2a_2,\ 1 + 2a_1 - 2a_2,\ 1 - a_1,\ 3 - a_2).$$

Si impone $v'' \perp u_1$ e $v'' \perp u_2$ (cioè $v'' \in U^\perp$):

$$v'' \cdot u_1 = (1 - a_1 + 2a_2) - 2(1 + 2a_1 - 2a_2) + (1 - a_1) = -6a_1 + 6a_2 = 0,$$ $$v'' \cdot u_2 = -2(1 - a_1 + 2a_2) + 2(1 + 2a_1 - 2a_2) + (3 - a_2) = 6a_1 - 9a_2 + 3 = 0 .$$

Dalla prima $a_1 = a_2$; nella seconda $-3a_2 + 3 = 0$, quindi $a_1 = a_2 = 1$.

$$p_U(v) = u_1 + u_2 = (-1, 0, 1, 1), \qquad p_{U^\perp}(v) = v - p_U(v) = (2, 1, 0, 2).$$

Controlli: $(2, 1, 0, 2)$ nel sistema di $U^\perp$: $2 - 2 + 0 = 0$ ✓, $-4 + 2 + 2 = 0$ ✓. E $(-1, 0, 1, 1)$ nel sistema di $U$: $-1 - 1 + 2 = 0$ ✓, $0 + 2 - 2 = 0$ ✓, $-1 + 0 + 1 = 0$ ✓.

Risultato (c): $p_U(v) = (-1, 0, 1, 1)$, $p_{U^\perp}(v) = (2, 1, 0, 2)$.

(d) Un complemento comune a $U$ e $U^\perp$

Che dimensione deve avere $W$

$U \oplus W = \mathbb{R}^4$ richiede $\dim U + \dim W = 4$ (la formula di Grassmanndim(U+W) = dim U + dim W − dim(U∩W); per una somma diretta l'intersezione è {0}.Formula di Grassmann e somma diretta → con intersezione nulla), quindi $\dim W = 2$. Lo stesso con $U^\perp$, che ha anch'essa dimensione $2$: nessuna contraddizione.

Una scelta concreta

Serve un piano $W$ che non abbia vettori non nulli in comune né con $U$ né con $U^\perp$. Proviamo il più semplice: $W = \langle e_3, e_4 \rangle$. Per verificare $U \oplus W = \mathbb{R}^4$ basta controllare che i quattro vettori $u_1, u_2, e_3, e_4$ siano indipendenti, cioè che il determinante della matrice che li ha come righe sia $\ne 0$:

$$\det \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2 - 4 = -2 \ne 0$$

(la matrice è triangolare a blocchi: il determinante è il prodotto dei determinanti dei blocchi diagonali, e il blocco in basso è $I_2$).

Per $U^\perp$, con $r_1, r_2, e_3, e_4$:

$$\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \ne 0 .$$

Risultato (d): $W$ esiste; per esempio $W = \langle (0, 0, 1, 0),\ (0, 0, 0, 1) \rangle$ (ce ne sono infiniti).

Osservazione. In generale è "raro" che un piano scelto a caso intersechi un altro piano di $\mathbb{R}^4$ in modo non banale: per questo la prima scelta semplice funziona. Se un determinante fosse venuto $0$ si sarebbe provato con un'altra coppia di vettori canonici.

Errori comuni

• Contare tre equazioni e concludere $\dim U = 1$: prima di contare va controllato che le equazioni siano indipendenti (qui $r_3 = r_1 + r_2$).
• Rispondere al punto (d) che $W$ non esiste "perché $W$ dovrebbe essere sia $U^\perp$ sia $U$": il complemento diretto non è unico, e $W$ non deve essere ortogonale a nessuno dei due.