Lezione 24Indipendenza degli autovettori e matrici diagonalizzabili

Capitolo 5: Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 24 della playlist ("Lezione 24", 67 min)

Argomenti trattati

1. Autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
2. Matrici diagonalizzabili: $S^{-1}AS = D$ con le colonne di $S$ autovettori.
3. Esercizi su autovalori e autovettori.

Teoria

• DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione → — matrici diagonalizzabili

Esercizi

• Esercizio 61 · diagonalizzare una matrice 3×3 con autovalori 1, 2, 3 — l'esercizio standard della lezione
• Esercizio 62 · matrice 3×3 non diagonalizzabile — sul modello del secondo esempio

Lezione precedente: Lezione 23 · Polinomio caratteristico, autospazi e molteplicità · Lezione successiva: Lezione 25 · Criterio di diagonalizzabilità, matrici simmetriche, sistemi differenziali