Lezione 29Esercizi su funzioni lineari, autovalori e diagonalizzazione

Capitoli 2 e 5: Funzioni lineari e matrici, Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 29 della playlist ("Lezione 29", 78 min)

Argomenti trattati

1. Esercizio d'esame: endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ con condizioni assegnate.
2. Domande teoriche su funzioni lineari: possibili dimensioni del nucleo, iniettività e suriettività, immagini di vettori indipendenti e dipendenti.
3. Esercizio su una matrice $3 \times 3$ con parametro: quando gli autovalori sono tutti reali, molteplicità, diagonalizzabilità.

Teoria

• Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → — domande teoriche
• DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione → — esercizi con parametro

Esercizi

• Esercizio 29 · domande teoriche su nucleo, immagine e indipendenza lineare (lezione 29) — domande teoriche della lezione
• Esercizio 67 · autovalori con molteplicità al variare di t (lezione 29) — sul modello dell'esercizio della lezione

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