Esercizio 42rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026)

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Testo (1° compitino del 10 aprile 2026, esercizio 2). Consideriamo la matrice

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4a^2 & -1 \\ -1 & -2 & a \end{pmatrix}.$

(a) Determinare il rango di $A$ al variare del parametro $a \in \mathbb{R}$ . (b) Determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema $AX = 0$ al variare di $a$ . (c) Poniamo $a = 1$ e consideriamo il vettore colonna $B = (b_1, b_2, b_3)$ . Che relazione deve esistere tra le variabili $b_1, b_2, b_3$ se vogliamo che il sistema $AX = B$ abbia soluzioni? (d) Poniamo $a = -1$ e consideriamo il vettore colonna $C = (2, 7, c)$ . Trovare il valore di $c$ per cui il sistema $AX = C$ ha soluzioni e, per tale valore di $c$ , trovare tutte le soluzioni di tale sistema.

Teoria usata: Eliminazione di Gauss, Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli, Nucleo e immagine.

(a) Rango al variare di $a$

Strategia. Con un parametro conviene fare l'eliminazione di Gauss scegliendo come pivot elementi che non dipendono da $a$ (così non si rischia di dividere per qualcosa che potrebbe essere zero), e solo alla fine discutere i casi.

Pivot $a_{11} = 1$ :

$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ : $(2, 4a^2, -1) - (2, 4, 2) = (0, \ 4a^2 - 4, \ -3)$ ;
$R_3 \leftarrow R_3 + R_1$ : $(-1, -2, a) + (1, 2, 1) = (0, \ 0, \ a + 1)$ .

$A \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4(a^2 - 1) & -3 \\ 0 & 0 & a + 1 \end{pmatrix}$

È già triangolare. Il rango dipende da quali elementi diagonali si annullano: $4(a^2 - 1) = 0 \iff a = \pm 1$ e $a + 1 = 0 \iff a = -1$ .

$a \ne \pm 1$ : i tre elementi diagonali sono non nulli, tre pivot: $\operatorname{rango}(A) = 3$ .
$a = 1$ : la matrice è $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ ; con $R_3 \leftarrow R_3 + \frac23 R_2$ l'ultima riga si annulla: $\operatorname{rango}(A) = 2$ .
$a = -1$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $\operatorname{rango}(A) = 2$ .

Controllo con il determinante. Le operazioni fatte (sommare a una riga un multiplo di un'altra) non cambiano il determinante, quindi $\det A = 1 \cdot 4(a^2 - 1) \cdot (a + 1) = 4(a - 1)(a + 1)^2$ , nullo esattamente per $a = \pm 1$ ✓. Il determinante dice quando il rango è massimo, ma non quanto vale il rango negli altri casi: per quello serve la forma a scala.

Risposta: $\operatorname{rango}(A) = 3$ per $a \ne \pm 1$ , $\operatorname{rango}(A) = 2$ per $a = \pm 1$ .

(b) Dimensione delle soluzioni di $AX = 0$

Lo spazio delle soluzioni di $AX = 0$ è il nucleo di $A$ e, per nullità + rango, ha dimensione $3 - \operatorname{rango}(A)$ ( $3$ = numero di incognite):

$a$	$\operatorname{rango}(A)$	$\dim \{X : AX = 0\}$
$a \ne \pm 1$	$3$	$0$ (solo $X = 0$ )
$a = \pm 1$	$2$	$1$

Per $a = \pm 1$ le soluzioni si trovano dalla forma a scala: $-3x_3 = 0$ , quindi $x_3 = 0$ ; poi $x_1 + 2x_2 = 0$ con $x_2$ libera. Lo spazio è $\langle (-2, 1, 0) \rangle$ in entrambi i casi (si vede anche guardando $A$ : la seconda colonna è il doppio della prima solo quando $4a^2 = 4$ ).

(c) $a = 1$ : condizione su $b_1, b_2, b_3$

Si riduce la matrice completa con le stesse operazioni, portandosi dietro la colonna dei termini noti:

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 2 & 4 & -1 & b_2 \\ -1 & -2 & 1 & b_3 \end{array}\right) \xrightarrow[R_3 + R_1]{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 0 & 0 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 2 & b_3 + b_1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3 + \frac23 R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & b_1 \\ 0 & 0 & -3 & b_2 - 2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 + b_1 + \frac23(b_2 - 2b_1) \end{array}\right)$

L'ultimo termine noto si semplifica: $b_3 + b_1 + \frac23 b_2 - \frac43 b_1 = -\frac13 b_1 + \frac23 b_2 + b_3$ .

L'ultima riga dice $0 = -\frac13 b_1 + \frac23 b_2 + b_3$ . Per Rouché-Capelli il sistema ha soluzioni se e solo se questo numero è $0$ (altrimenti la riga sarebbe un'equazione impossibile $0 =$ numero non nullo, e il rango della completa salirebbe a $3$ ). Moltiplicando per $-3$ :

$\boxed{\ b_1 - 2b_2 - 3b_3 = 0\ }$

Interpretazione. I $B$ per cui $AX = B$ ha soluzione sono quelli dell'immagine di $A$ (lo spazio generato dalle colonne), che per $a = 1$ ha dimensione $2$ : un piano di $\mathbb{R}^3$ , descritto da una equazione cartesiana. Controllo sulle colonne di $A$ : prima colonna $(1, 2, -1)$ : $1 - 4 + 3 = 0$ ✓; terza colonna $(1, -1, 1)$ : $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

(d) $a = -1$ , $C = (2, 7, c)$

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 7 \\ -1 & -2 & -1 & c \end{array}\right) \xrightarrow[R_3 + R_1]{R_2 - 2R_1} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & c + 2 \end{array}\right)$

(La terza riga si annulla del tutto nella parte dei coefficienti, perché per $a = -1$ è l'opposta della prima.) Serve $c + 2 = 0$ : $c = -2$ .

Soluzioni per $c = -2$ . Dalla seconda equazione $-3x_3 = 3$ , cioè $x_3 = -1$ . Dalla prima $x_1 + 2x_2 + x_3 = 2$ , cioè $x_1 = 2 - 2x_2 + 1 = 3 - 2x_2$ , con $x_2$ libera:

$X = (3 - 2t, \ t, \ -1) = \underbrace{(3, 0, -1)}_{\text{soluzione particolare}} + t\,\underbrace{(-2, 1, 0)}_{\text{nucleo}}, \qquad t \in \mathbb{R}.$

È la struttura generale: una soluzione particolare più il nucleo trovato in (b).

Verifica con $t = 0$ : $A(3, 0, -1)^T = (3 + 0 - 1, \ 6 + 0 + 1, \ -3 + 0 + 1) = (2, 7, -2)$ ✓.

Errori comuni

Dividere per un'espressione con il parametro (per esempio usare $4(a^2 - 1)$ come pivot senza dire "se $a \ne \pm 1$ "): nei casi esclusi va rifatto il conto.
Fermarsi al determinante: $\det A = 0$ dice solo che il rango è minore di $3$ , non che è $2$ .
Dimenticare il nucleo in (d): le soluzioni sono infinite, una retta di $\mathbb{R}^3$ , non il solo $(3, 0, -1)$ .

Lezioni in cui compare

Lezione 16 · Teorema di Rouché-Capelli ed eliminazione di Gauss

Esercizio 42rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026)

(a) Rango al variare di aaa

(b) Dimensione delle soluzioni di AX=0AX = 0AX=0

(c) a=1a = 1a=1: condizione su b1,b2,b3b_1, b_2, b_3b1​,b2​,b3​

(d) a=−1a = -1a=−1, C=(2,7,c)C = (2, 7, c)C=(2,7,c)