Lezione 5Generatori, basi e lemma dello scambio

Capitolo 1: Spazi vettoriali · Videolezione: n. 5 della playlist ("Lezione 5", 62 min)

Argomenti trattati

1. Insiemi di generatori e spazi finitamente generati; esempi di spazi non finitamente generati (polinomi di grado qualsiasi).
2. Basi: generatori linearmente indipendenti; ogni vettore si scrive in modo unico.
3. Lemma dello scambio: in uno spazio generato da $n$ vettori, più di $n$ vettori sono dipendenti.

Teoria

• Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi → — generatori, basi, lemma dello scambio

Esercizi

• Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3 — esempi delle lezioni 4 e 5

Lezione precedente: Lezione 4 · Intersezione, unione e somma di sottospazi · Lezione successiva: Lezione 6 · Dimensione, estrarre e completare una base