Lezione 8Esercizi su sottospazi, basi, intersezione e somma

Capitolo 1: Spazi vettoriali · Videolezione: n. 8 della playlist ("Lezione 8", 77 min)

Argomenti trattati

1. Base di un sottospazio dato da equazioni (si risolve il sistema: i parametri liberi danno la base).
2. Equazioni cartesiane di un sottospazio dato da generatori (si eliminano i parametri).
3. Intersezione e somma di due sottospazi, con controllo tramite Grassmann.

Teoria

• Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi → — le tecniche, passo per passo
• Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → — applicazioni

Esercizi

• Esercizio 6 · base di un piano dato da un'equazione — esercizio della lezione
• Esercizio 7 · intersezione e somma con vettori dati in una base — tema d'esame svolto nella lezione
• Esercizio 8 · base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4 — compitino 2025
• Esercizio 10 · sottospazio con un parametro, intersezione e somma — appello 2026

Lezione precedente: Lezione 7 · Basi in dimensione n, formula di Grassmann e somma diretta · Lezione successiva: Lezione 9 · Funzioni lineari, isomorfismi e coordinate