Esercizio 106retta parallela a un piano e intersezione di piani (appello 3/2/2026)

Testo (4° appello del 3 febbraio 2026, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ sono assegnati il piano $\pi$ di equazione $2x + y - z = 3$ e la retta $\ell$ di equazioni

$$\ell: \begin{cases} 3x - y = 0 \\ \alpha x - z = 0 \end{cases}$$

(a) Determinare per quale valore di $\alpha$ la retta $\ell$ è parallela al piano $\pi$. (b) Per il valore di $\alpha$ trovato al punto (a) calcolare la distanza di $\ell$ da $\pi$. (c) Sia $\sigma$ il piano passante per il punto $P = (3, -2, 0)$ e parallelo ai vettori $u_1 = (0, 1, 2)$ e $u_2 = (1, -2, -1)$. Trovare le equazioni parametriche della retta $r = \sigma \cap \pi$. (d) Scrivere le equazioni parametriche della retta $s$ passante per $P = (3, -2, 0)$, contenuta nel piano $\sigma$ e perpendicolare alla retta $r$.

Teoria usata: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →.

(a) Quando $\ell$ è parallela a $\pi$

Parametriche di $\ell$. Dalle equazioni $y = 3x$ e $z = \alpha x$; con $x = t$:

$$\ell: \ (t, \ 3t, \ \alpha t) = t\,(1, 3, \alpha), \qquad v_\ell = (1, 3, \alpha).$$

(Passa per l'origine, qualunque sia $\alpha$.)

Condizione di parallelismo. Una retta è parallela a un piano se il suo direttore è ortogonale alla normale del piano, $n = (2, 1, -1)$:

$$v_\ell \cdot n = 2 + 3 - \alpha = 5 - \alpha = 0 \iff \alpha = 5 .$$

Lo stesso sostituendo. Mettendo le parametriche nell'equazione di $\pi$: $2t + 3t - \alpha t = 3$, cioè $(5 - \alpha)t = 3$. Per $\alpha \ne 5$ c'è una sola soluzione $t = \frac{3}{5 - \alpha}$ (la retta interseca il piano in un punto); per $\alpha = 5$ l'equazione diventa $0 = 3$, impossibile: nessun punto comune, retta parallela e non contenuta nel piano.

(b) Distanza di $\ell$ da $\pi$ per $\alpha = 5$

Retta e piano sono paralleli, quindi tutti i punti della retta hanno la stessa distanza dal piano: basta prenderne uno, il più comodo è l'origine $O \in \ell$.

$$d(\ell, \pi) = d(O, \pi) = \frac{|2 \cdot 0 + 0 - 0 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{3}{\sqrt6} = \frac{\sqrt6}{2} .$$

Controllo con un altro punto di $\ell$, $(1, 3, 5)$: $\frac{|2 + 3 - 5 - 3|}{\sqrt6} = \frac{3}{\sqrt6}$ ✓.

(c) La retta $r = \sigma \cap \pi$

Equazione cartesiana di $\sigma$. La normale è ortogonale a entrambi i vettori direttori:

$$n_\sigma = u_1 \times u_2 = (0, 1, 2) \times (1, -2, -1) = \big(1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-2), \ \ 2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1), \ \ 0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1\big) = (3, 2, -1).$$

Quindi $\sigma: 3x + 2y - z = d$, e il passaggio per $P = (3, -2, 0)$ dà $d = 9 - 4 - 0 = 5$:

$$\sigma: \ 3x + 2y - z = 5 .$$

Controllo: $n_\sigma \cdot u_1 = 0 + 2 - 2 = 0$ ✓, $n_\sigma \cdot u_2 = 3 - 4 + 1 = 0$ ✓.

Intersezione con $\pi$. Si risolve il sistema

$$\begin{cases} 3x + 2y - z = 5 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}$$

Sottraendo la seconda dalla prima: $x + y = 2$, cioè $y = 2 - x$. Dalla seconda: $z = 2x + y - 3 = 2x + 2 - x - 3 = x - 1$. Con $x = t$:

$$r: \begin{cases} x = t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + t \end{cases} \qquad v_r = (1, -1, 1).$$

Controllo: $(0, 2, -1)$ sta su entrambi i piani ($0 + 4 + 1 = 5$ ✓, $0 + 2 + 1 = 3$ ✓); $v_r$ è ortogonale a entrambe le normali ($3 - 2 - 1 = 0$, $2 - 1 - 1 = 0$ ✓).

(d) La retta $s$ per $P$, in $\sigma$, perpendicolare a $r$

Il direttore $v_s$ deve essere:

• parallelo a $\sigma$ (la retta sta nel piano): $v_s \perp n_\sigma$;
• perpendicolare a $r$: $v_s \perp v_r$.

Un vettore ortogonale a entrambi è il prodotto vettoriale:

$$v_s = n_\sigma \times v_r = (3, 2, -1) \times (1, -1, 1) = \big(2 \cdot 1 - (-1)(-1), \ \ (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 1, \ \ 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1\big) = (1, -4, -5).$$

Siccome $P \in \sigma$ e la direzione è parallela a $\sigma$, la retta sta tutta in $\sigma$:

$$s: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -2 - 4t \\ z = -5t \end{cases}$$

Controlli: $v_s \cdot n_\sigma = 3 - 8 + 5 = 0$ ✓; $v_s \cdot v_r = 1 + 4 - 5 = 0$ ✓.

(Le rette $r$ e $s$ stanno entrambe in $\sigma$ e non sono parallele, quindi si incontrano: $s$ è la perpendicolare a $r$ condotta da $P$ dentro il piano $\sigma$.)

Errori comuni

• In (a) imporre $v_\ell$ proporzionale a $n$: quella è la condizione di retta perpendicolare al piano.
• In (b) calcolare la distanza con $\alpha$ generico: per $\alpha \ne 5$ retta e piano si intersecano e la distanza è $0$.
• In (d) prendere $v_s = n_\sigma$: la retta sarebbe perpendicolare a $\sigma$, non contenuta in esso.