Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi

In questa pagina 7

Lezione 8 (videolezione n. 8) e primo esercizio di quasi tutti i temi d'esame. Prerequisiti: Dimensione, Formula di Grassmann e somma diretta. Esercizi svolti: Esercizio 8 · base, equazioni cartesiane, intersezione e somma in R4, Esercizio 9 · base, coordinate e somma diretta in R4, Esercizio 10 · sottospazio con un parametro, intersezione e somma.

Un sottospazio $U \subseteq K^n$ si può conoscere in due forme, e quasi ogni domanda d'esame chiede di passare dall'una all'altra:

Forma	Esempio in $\mathbb{R}^4$	Comoda per
generatori (meglio una base)	$U = \langle (1,1,0,1), (2,1,1,0) \rangle$	scrivere i vettori di $U$ , calcolare la somma
equazioni cartesiane (sistema omogeneo)	$U : x_1 - 2x_3 - x_4 = 0,\ x_2 - x_3 - x_4 = 0$	verificare se un vettore sta in $U$ , calcolare l'intersezione

Esempio guida per tutta la nota: $U = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ con $u_1 = (1, 1, 0, 1)$ , $u_2 = (2, 1, 1, 0)$ , $u_3 = (3, 2, 1, 1)$ , e $W : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0$ .

Passo 1. Dai generatori a una base

Si scrivono i generatori come righe di una matrice e la si riduce a scala con l'Eliminazione di Gauss (operazioni: scambiare due righe, moltiplicare una riga per un numero $\ne 0$ , sommare a una riga un multiplo di un'altra).

Perché funziona. Le operazioni sulle righe non cambiano il sottospazio generato dalle righe: se si sostituisce $R_2$ con $R_2 + c R_1$ , la nuova riga è combinazione delle vecchie, e la vecchia si riottiene come $(R_2 + cR_1) - cR_1$ . Quindi le righe prima e dopo generano lo stesso sottospazio. Alla fine le righe non nulle della matrice a scala sono indipendenti (ciascuna ha il primo elemento non nullo in una colonna dove le righe sotto hanno zero) e formano una base. Il loro numero è la dimensione.

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[R_3 \to R_3 - 3R_1]{R_2 \to R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \to R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Due righe non nulle: $\dim U = 2$ . Una base è $(1, 1, 0, 1), (0, -1, 1, -2)$ ; oppure, visto che lo scambio di righe non è servito e la riga nulla viene da $u_3$ , anche $u_1, u_2$ (si vede che $u_3 = u_1 + u_2$ ).

Se servono i generatori originali o una relazione di dipendenza (per esempio " $u_3 = u_1 + u_2$ "), si risolve il sistema $a_1 u_1 + a_2 u_2 + a_3 u_3 = \vec 0$ come in Combinazioni lineari e dipendenza lineare, oppure si tiene traccia delle operazioni fatte: qui la terza riga si è annullata con $R_3 - 3R_1 - (R_2 - 2R_1) = R_3 - R_2 - R_1$ , cioè $u_3 - u_2 - u_1 = \vec 0$ .

Passo 2. Dalle equazioni a una base

Si risolve il sistema omogeneo: si ricavano alcune incognite in funzione delle altre, che restano libere. La dimensione è il numero di incognite libere; una base si trova ponendo una incognita libera uguale a $1$ e le altre libere uguali a $0$ .

Per $W$ : $x_1 = -x_2 - x_3 - x_4$ con $x_2, x_3, x_4$ libere, quindi $\dim W = 3$ e una base è

$(-1, 1, 0, 0), \quad (-1, 0, 1, 0), \quad (-1, 0, 0, 1).$

Controllo: in $K^n$ , un sottospazio descritto da $k$ equazioni indipendenti ha dimensione $n - k$ . Qui $4 - 1 = 3$ ✓.

Passo 3. Da una base alle equazioni cartesiane

Si scrive il vettore generico di $U$ come combinazione della base con parametri: le equazioni parametriche.
Si eliminano i parametri: le relazioni che restano tra $x_1, \dots, x_n$ sono le equazioni cartesiane.
Il numero di equazioni (indipendenti) deve essere $n - \dim U$ .

Per $U$ con base $u_1, u_2$ :

$(x_1, x_2, x_3, x_4) = a(1, 1, 0, 1) + b(2, 1, 1, 0) \iff \begin{cases} x_1 = a + 2b \\ x_2 = a + b \\ x_3 = b \\ x_4 = a \end{cases}$

Le ultime due danno subito i parametri: $b = x_3$ , $a = x_4$ . Sostituendo nelle prime due:

$U : \begin{cases} x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$

Sono $4 - 2 = 2$ equazioni ✓. Verifica: i vettori della base devono soddisfarle. $u_1$ : $1 - 0 - 1 = 0$ , $1 - 0 - 1 = 0$ ✓; $u_2$ : $2 - 2 - 0 = 0$ , $1 - 1 - 0 = 0$ ✓.

Consiglio: conviene cercare equazioni parametriche in cui qualche coordinata è un parametro (come $x_3 = b$ , $x_4 = a$ ): l'eliminazione diventa una semplice sostituzione. Se non succede, si ricava un parametro da un'equazione e lo si sostituisce nelle altre.

Passo 4. Intersezione

Dipende da come sono dati i due sottospazi.

$U$ dato con	$W$ dato con	Come si calcola $U \cap W$
equazioni	equazioni	si mettono a sistema tutte le equazioni e lo si risolve
generatori	equazioni	si sostituisce il vettore generico $a_1 u_1 + \dots + a_k u_k$ nelle equazioni di $W$ e si trovano le condizioni sui $a_i$
generatori	generatori	si impone $a_1 u_1 + \dots = b_1 w_1 + \dots$ (sistema nelle incognite $a_i, b_j$ ), oppure si passa prima alle equazioni

Nell'esempio, a sistema:

$\begin{cases} x_1 - 2x_3 - x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \end{cases}$

Dalle prime due $x_1 = 2x_3 + x_4$ , $x_2 = x_3 + x_4$ ; nella terza $(2x_3 + x_4) + (x_3 + x_4) + x_3 + x_4 = 4x_3 + 3x_4 = 0$ , cioè $x_3 = -\frac34 x_4$ . Resta libera solo $x_4$ : $\dim(U \cap W) = 1$ . Con $x_4 = 4$ (per evitare frazioni): $x_3 = -3$ , $x_1 = -6 + 4 = -2$ , $x_2 = -3 + 4 = 1$ . Base di $U \cap W$ : $(-2, 1, -3, 4)$ .

Verifica: $(-2, 1, -3, 4)$ soddisfa le tre equazioni ( $-2 + 6 - 4 = 0$ , $1 + 3 - 4 = 0$ , $-2 + 1 - 3 + 4 = 0$ ) ✓.

Passo 5. Somma

La somma è generata dall'unione dei generatori: $U + W = \langle u_1, u_2, w_1, w_2, w_3 \rangle$ ; poi si estrae una base (passo 1). Ma quasi sempre conviene la formula di Grassmann:

$\dim(U + W) = 2 + 3 - 1 = 4 = \dim \mathbb{R}^4,$

quindi $U + W = \mathbb{R}^4$ e una base è la base canonica. Se invece $\dim(U + W) < n$ , si prendono una base di $U$ e si aggiungono vettori di $W$ finché si arriva a $\dim(U + W)$ vettori indipendenti.

Controlli da fare sempre

La dimensione trovata con le equazioni ( $n -$ numero di equazioni indipendenti) coincide con quella trovata con i generatori.
I vettori di base soddisfano le equazioni cartesiane.
Il vettore trovato per l'intersezione soddisfa le equazioni di entrambi i sottospazi.
$\dim(U \cap W) \le \min(\dim U, \dim W)$ e $\dim(U + W) \le n$ .

Errori comuni

Mettere a sistema le equazioni per trovare la somma: a sistema si ottiene l'intersezione.
Unire le basi per trovare l'intersezione: unendo le basi si genera la somma.
Dimenticare di estrarre una base dall'unione dei generatori: i generatori uniti sono spesso dipendenti (lo sono sicuramente se l'intersezione non è nulla).
Prendere come base dell'intersezione il vettore nullo: se l'unica soluzione è $\vec 0$ , l'intersezione ha dimensione $0$ e base vuota.