Generatori e basi

Lezioni 4–5 (videolezioni n. 4 e 5). Prerequisiti: Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →, Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →. Esercizio svolto: Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3. Seguito: DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →.

Sistemi di generatori

I vettori $v_1, \dots, v_r \in V$ formano un sistema di generatori (o insieme di generatori) di $V$ se $\langle v_1, \dots, v_r \rangle = V$, cioè se ogni vettore $v \in V$ si può scrivere come combinazione lineare $$v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r \quad \text{per qualche } \lambda_1, \dots, \lambda_r \in K.$$

Uno spazio vettoriale contiene di solito infiniti vettori; un sistema di generatori li "comprime" in pochi vettori da cui si ricostruisce tutto.

Come si verifica

1. Si prende un vettore generico di $V$, con componenti letterali: in $\mathbb{R}^2$ si scrive $v = (a, b)$ con $a, b$ qualsiasi. (Non un vettore particolare come $(7, -3)$: quello che si dimostrasse varrebbe solo per lui.)
2. Si impone $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r$ e si scrive il sistema lineare corrispondente.
3. Incognite sono i $\lambda_i$; $a, b, \dots$ sono parametri (i termini noti).
4. I vettori generano $V$ se il sistema ha soluzione per ogni valore dei parametri. Non serve trovare la soluzione: basta sapere che esiste.

Esempio. $v_1 = (1, 2)$ e $v_2 = (2, -3)$ generano $\mathbb{R}^2$? Si risolve

$$\begin{cases} \lambda_1 + 2\lambda_2 = a \\ 2\lambda_1 - 3\lambda_2 = b \end{cases}$$

Dalla prima $\lambda_1 = a - 2\lambda_2$; nella seconda $2a - 4\lambda_2 - 3\lambda_2 = b$, cioè $\lambda_2 = \frac{2a - b}{7}$, e poi $\lambda_1 = \frac{3a + 2b}{7}$. C'è una soluzione per ogni $(a, b)$: sì, generano. Per di più la soluzione è unica.

Con tre vettori $(2, 1), (0, 3), (1, -1)$ si trova invece che le soluzioni sono infinite (una incognita resta libera): generano $\mathbb{R}^2$, ma ogni vettore si scrive in infiniti modi. E $(1, 2, -1), (0, 3, 1)$ non generano $\mathbb{R}^3$: il sistema ha soluzione solo se $b = 5a + 3c$. Tutti i conti nell'Esercizio 4 · generatori di R2 e di R3.

Basi

Una base di $V$ è un insieme di vettori che

1. è un sistema di generatori di $V$, e
2. è formato da vettori linearmente indipendenti (si dice anche che è un insieme libero).

Teorema: coordinate uniche

Teorema. Se $v_1, \dots, v_n$ è una base di $V$, ogni vettore $v \in V$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di $v_1, \dots, v_n$.

Dimostrazione. Che si possa scrivere è la proprietà di generatori. Per l'unicità si suppone che ci siano due scritture:

$$v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = \mu_1 v_1 + \dots + \mu_n v_n.$$

Portando tutto a sinistra e raccogliendo:

$$(\lambda_1 - \mu_1) v_1 + (\lambda_2 - \mu_2) v_2 + \dots + (\lambda_n - \mu_n) v_n = \vec 0.$$

Questa è una combinazione lineare dei vettori di base uguale a $\vec 0$; siccome i vettori di base sono indipendenti, tutti i coefficienti sono nulli: $\lambda_i - \mu_i = 0$, cioè $\lambda_i = \mu_i$ per ogni $i$. Le due scritture coincidono ∎.

Il ruolo dell'indipendenza. Con dei generatori non indipendenti (come i tre vettori di $\mathbb{R}^2$ sopra) la scrittura esiste ma non è unica.

Coordinate. I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ determinati in modo unico si chiamano coordinate (o componenti) di $v$ rispetto alla base. Fissare una base è come fissare un sistema di riferimento: lo stesso vettore ha coordinate diverse in basi diverse. Lo si approfondisce in Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →.

La base canonica di $K^n$

In $K^n$ i vettori $$e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1)$$ formano la base canonica.

Generano: un vettore generico $(a_1, \dots, a_n)$ è $a_1 e_1 + \dots + a_n e_n$; il sistema da risolvere ha in ogni equazione una sola incognita ($\lambda_i = a_i$).

Sono indipendenti: $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n = (\lambda_1, \dots, \lambda_n) = \vec 0$ dà subito $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$.

Le coordinate di un vettore di $K^n$ rispetto alla base canonica sono le sue componenti. In $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$, $e_1, e_2, e_3$ sono i versori degli assi $x, y, z$. Le basi di $K^n$ sono infinite (per esempio $2e_1, \dots, 2e_n$ è un'altra base), ma questa è la più semplice: da qui "canonica".

Spazi finitamente generati

$V$ è finitamente generato se ha un sistema di generatori formato da un numero finito di vettori.

$K^n$ è finitamente generato (la base canonica ha $n$ vettori). Non lo è lo spazio $\mathbb{R}[x]$ di tutti i polinomi: i monomi $1, x, x^2, x^3, \dots$ lo generano, ma non ci si può fermare a nessuna potenza, perché con $1, x, \dots, x^5$ non si ottiene un polinomio di grado $6$. In generale, con un numero finito di polinomi il grado delle combinazioni non supera il grado massimo di quei polinomi. Ancora più grande lo spazio di tutte le funzioni $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Nel corso si considerano solo spazi finitamente generati. Lo spazio $\mathbb{R}[x]_{\le 3}$ dei polinomi di grado $\le 3$ invece è finitamente generato, con base $1, x, x^2, x^3$.

Lemma dello scambio

Teorema (lemma dello scambio). Se $v_1, \dots, v_n$ generano $V$ e $w_1, \dots, w_r \in V$ sono linearmente indipendenti, allora $r \le n$.

In parole: in uno spazio vettoriale i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.

Dimostrazione. Si sostituiscono uno alla volta i $w$ al posto dei $v$, mantenendo sempre un sistema di generatori.

Primo scambio. Siccome i $v$ generano, $w_1 = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$. I $\lambda_i$ non sono tutti nulli: altrimenti $w_1 = \vec 0$, ma dei vettori indipendenti sono tutti non nulli (vedi quiSe una famiglia contiene il vettore nullo, la combinazione con coefficiente 1 su di lui e 0 sugli altri dà il vettore nullo: la famiglia è dipendente.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →). Riordinando i $v$ si può supporre $\lambda_n \ne 0$. Allora si ricava $v_n$:

$$v_n = \frac{1}{\lambda_n} w_1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_n} v_1 - \dots - \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} v_{n-1}.$$

Ora $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$ generano ancora $V$: ogni $v$ è combinazione di $v_1, \dots, v_n$, e sostituendo l'espressione di $v_n$ appena trovata diventa combinazione di $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$. Si è scambiato $v_n$ con $w_1$ senza perdere la proprietà di generare (da qui il nome).

Passi successivi. Si ripete: si scrive $w_2$ come combinazione di $w_1, v_1, \dots, v_{n-1}$; qualche coefficiente di un $v$ è non nullo (se fossero nulli tutti quelli dei $v$, $w_2$ sarebbe multiplo di $w_1$, contro l'indipendenza), e si scambia quel $v$ con $w_2$. Dopo $s$ passi si ha il sistema di generatori $w_1, \dots, w_s, v_1, \dots, v_{n-s}$ (sempre $n$ vettori in tutto).

Conclusione. Se fosse $r > n$, dopo $n$ scambi i $v$ sarebbero finiti e $w_1, \dots, w_n$ genererebbero $V$. Ma allora $w_{n+1}$ (che esiste perché $r > n$) sarebbe combinazione di $w_1, \dots, w_n$, e i $w$ sarebbero dipendenti: assurdo. Quindi $r \le n$ ∎.

Esempio d'uso. In $\mathbb{R}^3$ la base canonica dà 3 generatori: quindi 4 vettori di $\mathbb{R}^3$ sono sempre dipendenti, e 2 vettori non possono mai generare $\mathbb{R}^3$ (altrimenti i 3 vettori indipendenti $e_1, e_2, e_3$ sarebbero più dei 2 generatori).

Riassunto

Errori comuni

• Verificare i generatori con un vettore numerico: serve il vettore generico con componenti letterali.
• Confondere incognite e parametri: nel sistema le incognite sono i $\lambda_i$; le componenti $a, b, c$ del vettore generico sono parametri liberi.
• Pensare che la base sia unica: le basi sono infinite; quello che non cambia è il numero di vettori (vedi DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →).