Lezione 23Polinomio caratteristico, autospazi e molteplicità

Capitolo 5: Autovalori e diagonalizzazione · Videolezione: n. 23 della playlist ("Lezione 23", 75 min)

Argomenti trattati

1. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica; esempi di calcolo degli autovalori.
2. Autovettori e autospazi.
3. Molteplicità algebrica e geometrica; esempi di calcolo degli autovettori.

Teoria

• Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori → — polinomio caratteristico, autospazi, molteplicità
• DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione → — inizio

Esercizi

• Esercizio 60 · autovalori di tre matrici 2×2 — esempi della lezione

Lezione precedente: Lezione 22 · Inversa con l'aggiunta, Cramer, matrici simili e autovalori · Lezione successiva: Lezione 24 · Indipendenza degli autovettori e matrici diagonalizzabili