Esercizio 100un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021)

Testo (1° appello del 15 giugno 2021, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ sono dati i punti $A = (0, 3, 3)$, $B = (1, 1, 2)$, $C = (2, 2, 1)$.

(a) Verificare che l'angolo $A\hat BC$ è retto e trovare un punto $D$ tale che $ABCD$ sia un rettangolo. (b) Trovare il punto $E$, intersezione delle diagonali del rettangolo $ABCD$. (c) Scrivere un'equazione cartesiana del piano $\pi$ che contiene il rettangolo $ABCD$.

Teoria usata: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →.

(a) Angolo retto in $B$ e quarto vertice

L'angolo $A\hat BC$ ha vertice $B$ e lati che vanno da $B$ verso $A$ e verso $C$. I vettori dei lati:

$$B - A = (1, -2, -1) =: v, \qquad C - B = (1, 1, -1) =: w .$$

(Si può usare $B - A$ oppure $A - B$: cambia solo il verso, non l'ortogonalità.) L'angolo è retto se i due vettori sono ortogonali:

$$v \cdot w = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + (-1)(-1) = 1 - 2 + 1 = 0 \ ✓$$

Il quarto vertice. In un rettangolo (come in ogni parallelogramma) i lati opposti sono uguali e paralleli: il lato $AD$ deve essere lo stesso vettore del lato $BC$. Quindi

$$D = A + (C - B) = (0, 3, 3) + (1, 1, -1) = (1, 4, 2).$$

Controllo con l'altro lato: $C - D = (2, 2, 1) - (1, 4, 2) = (1, -2, -1) = v = B - A$ ✓ ($DC$ è uguale e parallelo ad $AB$).

L'ordine dei vertici conta: $ABCD$ significa che si percorrono $A \to B \to C \to D \to A$, quindi $B$ e $D$ sono opposti, e $A$ e $C$ sono opposti. Il punto $A + (B - C)$ o $C + (B - A)$ darebbe un parallelogramma con i vertici in un altro ordine.

(b) Intersezione delle diagonali

Le diagonali di un parallelogramma si tagliano a metà: il loro punto d'incontro è il punto medio di ciascuna. Con la diagonale $AC$:

$$E = \frac{A + C}{2} = \left(\frac{0 + 2}{2}, \ \frac{3 + 2}{2}, \ \frac{3 + 1}{2}\right) = \left(1, \ \tfrac52, \ 2\right).$$

Controllo con l'altra diagonale: $\frac{B + D}{2} = \left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = \left(1, \frac52, 2\right)$ ✓.

(c) Il piano del rettangolo

Il piano passa per $A$ ed è parallelo ai vettori $v$ e $w$ (le direzioni dei lati). Una normale è il prodotto vettorialeIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →:

$$n = v \times w = \big((-2)(-1) - (-1) \cdot 1, \ \ (-1) \cdot 1 - 1 \cdot (-1), \ \ 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 1\big) = (3, 0, 3).$$

Si può semplificare in $(1, 0, 1)$ (una normale si può riscalare). L'equazione è $x + z = d$; imponendo il passaggio per $A = (0, 3, 3)$: $0 + 3 = d$.

$$\pi: \ x + z = 3 .$$

Verifica su tutti i vertici: $A$: $0 + 3 = 3$; $B$: $1 + 2 = 3$; $C$: $2 + 1 = 3$; $D$: $1 + 2 = 3$ ✓.

Senza prodotto vettoriale. Si cerca $n = (a, b, c)$ con $n \cdot v = a - 2b - c = 0$ e $n \cdot w = a + b - c = 0$. Sottraendo: $3b = 0$, quindi $b = 0$ e $a = c$: $n = (1, 0, 1)$, come sopra.

Un dato in più. L'area del rettangolo è $\|v\|\,\|w\| = \sqrt6 \cdot \sqrt3 = 3\sqrt2$, ed è anche $\|v \times w\| = \|(3, 0, 3)\| = 3\sqrt2$ ✓ (la norma del prodotto vettoriale è l'area del parallelogramma).

Errori comuni

• Calcolare $D = B + (C - A)$ o simili, senza rispettare l'ordine dei vertici: si ottiene un altro parallelogramma.
• Verificare l'angolo con i vettori sbagliati, per esempio $A - B$ e $C - A$: i due vettori devono partire entrambi dal vertice dell'angolo (o arrivarci entrambi), a meno del segno.
• Prendere come normale uno dei vettori dei lati: la normale è ortogonale a entrambi.