Permutazioni e definizione di determinante

Lezioni 19 (fine) e 20 (videolezioni n. 19–20). Esercizi svolti: Esercizio 47 · determinante 4×4 con Laplace e con Gauss. Seguito: Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →, Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →.

Da dove si parte

Per una matrice $2 \times 2$ la formula dell'inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa → è

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}:$$

tutti gli elementi hanno lo stesso denominatore $ad - bc$, e l'inversa esiste se e solo se questo numero non è zero. Il numero $ad - bc$ "determina" l'invertibilità: si chiama determinante. Si ricorda così: prodotto della diagonale principale ($a \cdot d$) meno prodotto della diagonale secondaria ($b \cdot c$).

Si vorrebbe lo stesso numero per matrici $n \times n$: calcolando l'inversa di una matrice più grande compaiono ancora frazioni con un unico denominatore comune, che sarà il determinante. Il problema è che la sua espressione è molto più complicata, e per scriverla servono le permutazioni.

Il prof avverte: la teoria dei determinanti è tecnica. Delle dimostrazioni più pesanti si dà solo l'idea; i risultati vanno saputi usare.

Permutazioni

Una permutazione di $\{1, 2, \dots, n\}$ è una funzione biiettiva $\sigma : \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}$. L'insieme di tutte le permutazioni di $n$ elementi si indica con $S_n$.

In pratica una permutazione rimescola i numeri da $1$ a $n$. Si scrive con due righe: sopra i numeri in ordine, sotto dove va ciascuno:

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{significa} \qquad \sigma(1) = 3, \ \sigma(2) = 2, \ \sigma(3) = 4, \ \sigma(4) = 1.$$

(Non è una matrice $2 \times 4$: è solo un modo comodo di scrivere la funzione.)

Quante sono. Per $\sigma(1)$ ci sono $n$ scelte; per $\sigma(2)$ ne restano $n - 1$ (non si può ripetere il numero già usato, perché $\sigma$ è iniettiva); per $\sigma(3)$ ne restano $n - 2$; …; per l'ultimo $1$. In totale

$$|S_n| = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$

$n!$ cresce velocissimo: questo sarà il problema della definizione.

Scambi e parità

Uno scambio è una permutazione che scambia due soli numeri $i \ne j$ e lascia fermi tutti gli altri.

Fatto 1. Ogni permutazione si ottiene facendo uno dopo l'altro un numero finito di scambi.

È intuitivo: scambiando due numeri alla volta si può mettere una lista in qualunque ordine. Esempio: per passare da $1\,2\,3\,4$ a $3\,1\,4\,2$:

$$1\,2\,3\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 3} 1\,3\,2\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 4} 1\,3\,4\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 3} 3\,1\,4\,2 \qquad (3 \text{ scambi}).$$

Il numero di scambi però non è unico: con un'altra strada (lezione 20)

$$1\,2\,3\,4 \xrightarrow{2 \leftrightarrow 4} 1\,4\,3\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 4} 4\,1\,3\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 3} 4\,3\,1\,2 \xrightarrow{3 \leftrightarrow 4} 3\,4\,1\,2 \xrightarrow{1 \leftrightarrow 4} 3\,1\,4\,2 \qquad (5 \text{ scambi}).$$

Fatto 2 (teorema, senza dimostrazione). La parità del numero di scambi è sempre la stessa: se una permutazione si ottiene con un numero dispari di scambi, ogni modo di ottenerla usa un numero dispari di scambi (qui $3$, $5$, $7$, … ma mai $4$ o $6$); lo stesso per il pari.

Ha quindi senso dire che una permutazione è pari o dispari, e definire il suo segno:

$$\operatorname{sgn}(\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{se } \sigma \text{ è pari (numero pari di scambi)} \\ -1 & \text{se } \sigma \text{ è dispari (numero dispari di scambi)} \end{cases}$$

• La permutazione identica ($\sigma(i) = i$ per ogni $i$) richiede $0$ scambi: è pari, segno $+1$.
• Ogni scambio in più cambia la parità.
• Per $n \ge 2$, metà delle permutazioni sono pari e metà dispari.

Metodo pratico: contare le inversioni. Un'inversione di $\sigma$ è una coppia di posizioni $i < j$ con $\sigma(i) > \sigma(j)$ (due numeri "in ordine sbagliato" nella riga di sotto). Si ha $\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{\text{numero di inversioni}}$. Per $3\,1\,4\,2$ le coppie in ordine sbagliato sono $(3, 1)$, $(3, 2)$, $(4, 2)$: tre inversioni, dispari, come trovato con gli scambi.

Definizione di determinante

Sia $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$. Il determinante di $A$ è il numero $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \, a_{1\sigma(1)} \, a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.$$

Come si legge, pezzo per pezzo.

• C'è un addendo per ogni permutazione: in tutto $n!$ addendi.
• Ogni addendo è un prodotto di $n$ elementi della matrice: dalla riga $1$ si prende l'elemento della colonna $\sigma(1)$, dalla riga $2$ quello della colonna $\sigma(2)$, e così via. Siccome $\sigma$ è biiettiva, le colonne $\sigma(1), \dots, \sigma(n)$ sono tutte diverse: si prende un elemento per ogni riga e uno per ogni colonna, mai due sulla stessa riga o sulla stessa colonna.
• Ogni prodotto si prende con il segno $+$ se $\sigma$ è pari, $-$ se è dispari.

In parole: si fanno tutti i prodotti di $n$ elementi scelti uno per riga e uno per colonna, in tutti i modi possibili, ciascuno con il segno della permutazione corrispondente, e si sommano. Si scrive anche $\det A = |A|$.

Matrici $2 \times 2$

$S_2$ ha due permutazioni: l'identità $\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ (pari) e lo scambio $\sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (dispari). Quindi

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = (+1)\, a_{11} a_{22} + (-1)\, a_{12} a_{21} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21},$$

che è proprio $ad - bc$ ✓.

Matrici $3 \times 3$

$S_3$ ha $3! = 6$ permutazioni:

($\sigma_5$: $1\,2\,3 \to 2\,1\,3 \to 2\,3\,1$, due scambi. $\sigma_6$: $1\,2\,3 \to 1\,3\,2 \to 3\,1\,2$, due scambi. In ogni caso dovevano essere tre pari e tre dispari.) Quindi

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}.$$

La regola di Sarrus (solo per $3 \times 3$)

Per ricordare la formula: si ricopiano le prime due colonne a destra della matrice,

$$\begin{array}{ccc|cc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{array}$$

• i prodotti lungo le tre diagonali che scendono da sinistra a destra ($a_{11}a_{22}a_{33}$, $a_{12}a_{23}a_{31}$, $a_{13}a_{21}a_{32}$) si prendono con il $+$;
• i prodotti lungo le tre diagonali che salgono da sinistra a destra ($a_{31}a_{22}a_{13}$, $a_{32}a_{23}a_{11}$, $a_{33}a_{21}a_{12}$) si prendono con il $-$.

Esempio (lezione 21). $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}$:

• diagonali "$+$": $2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$, $\ 3 \cdot 0 \cdot 3 = 0$, $\ (-1) \cdot 1 \cdot (-2) = 2$;
• diagonali "$-$": $(-1) \cdot 1 \cdot 3 = -3$, $\ 2 \cdot 0 \cdot (-2) = 0$, $\ 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$.

$$\det A = (2 + 0 + 2) - (-3 + 0 + 3) = 4 - 0 = 4.$$

Attenzione. Sarrus vale solo per le matrici $3 \times 3$. Non esiste niente di simile per $4 \times 4$ o più: "copiando tre colonne" si otterrebbero $4 + 4 = 8$ prodotti, ma il determinante di una $4 \times 4$ ne ha $4! = 24$. Mancano $16$ termini, il risultato è sbagliato.

Il problema del costo

Con la definizione, una $5 \times 5$ richiede $120$ prodotti (ciascuno con il suo segno da calcolare), una $10 \times 10$ più di tre milioni. La definizione è fondamentale per la teoria ma inutilizzabile per i calcoli: nella pratica si usano l'eliminazione di GaussIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → o lo sviluppo di Laplace.

Due casi in cui la definizione è facile

Matrici triangolari

Teorema. Se $A$ è triangolare (superiore: tutti zeri sotto la diagonale; oppure inferiore: tutti zeri sopra), il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale:

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.$$

Dimostrazione (triangolare superiore). Un prodotto della definizione contiene un elemento per ogni colonna. Nella prima colonna l'unico elemento non nullo è $a_{11}$: se si sceglie un altro elemento della prima colonna, il prodotto vale $0$. Quindi gli unici prodotti che possono essere non nulli contengono $a_{11}$. Nella seconda colonna non si può più prendere $a_{12}$ (la riga $1$ è già usata) e gli elementi sotto $a_{22}$ sono zero: resta solo $a_{22}$. Nella terza colonna, per lo stesso motivo, resta solo $a_{33}$, e così via. L'unico prodotto non nullo è $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$, che corrisponde all'identità (pari): segno $+$. ∎

In particolare $\det I_n = 1$, e una matrice diagonale ha come determinante il prodotto della diagonale.

La trasposta

Teorema. $\det A^T = \det A$.

Idea. I prodotti della definizione sono "un elemento per ogni riga e uno per ogni colonna". Scambiando righe e colonne la frase diventa "uno per ogni colonna e uno per ogni riga": si ottengono gli stessi prodotti. (Bisognerebbe controllare che anche i segni coincidano: si può, ma lo omettiamo.)

Conseguenza importante: ogni proprietà del determinante dimostrata per le righe vale automaticamente anche per le colonne.

Errori comuni

• Usare una "Sarrus" per matrici $4 \times 4$: è sbagliato, non esiste.
• Calcolare il determinante di una matrice non quadrata: non è definito.
• Sbagliare il segno della diagonale secondaria nella $2 \times 2$: è $ad - bc$, non $ad + bc$.
• Confondere determinante e rango: il determinante è un numero (può essere negativo), il rango un numero naturale.
• Prendere due elementi sulla stessa riga (o colonna) in un prodotto: nella definizione ogni prodotto ha esattamente un elemento per riga e uno per colonna.