Esercizio 104rette sghembe e perpendicolare comune (appello 17/6/2025)

Testo (1° appello del 17 giugno 2025, esercizio 4). Nello spazio affine $\mathbb{A}^3_{\mathbb{R}}$ si considerino le rette

$$r: \begin{cases} 2x + y - 3z - 5 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \qquad\text{e}\qquad s: \begin{cases} x = t - 1 \\ y = t + 2 \\ z = t + 3 \end{cases}$$

(a) Si dica se $r$ e $s$ sono incidenti, parallele oppure sghembe. (b) Scrivere l'equazione cartesiana del piano che contiene la retta $r$ ed è parallelo a $s$. (c) Scrivere le equazioni parametriche della retta $\ell$ che interseca le rette $r$ e $s$ ed è ortogonale ad entrambe. Trovare i punti di minima distanza delle rette $r$ e $s$.

Teoria usata: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →, Fasci di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani →.

(a) Posizione reciproca

Parametriche di $r$. Dalla seconda equazione $y = 3$; nella prima $2x + 3 - 3z - 5 = 0$, cioè $x = 1 + \frac32 z$. Per evitare frazioni si pone $z = 2a$: $x = 1 + 3a$.

$$r: \ (1 + 3a, \ 3, \ 2a) = (1, 3, 0) + a(3, 0, 2), \qquad v_r = (3, 0, 2).$$

Direttore di $s$: i coefficienti di $t$, $v_s = (1, 1, 1)$.

Parallele? $(3, 0, 2)$ e $(1, 1, 1)$ non sono proporzionali (la seconda componente è $0$ in uno e $1$ nell'altro). No.

Incidenti? Si sostituiscono le parametriche di $s$ nelle equazioni di $r$:

• seconda equazione: $t + 2 - 3 = 0$, quindi $t = 1$, cioè il punto $(0, 3, 4)$;
• prima equazione in quel punto: $2 \cdot 0 + 3 - 3 \cdot 4 - 5 = -14 \ne 0$.

L'unico punto di $s$ che soddisfa la seconda equazione non soddisfa la prima: nessun punto comune.

Non parallele e senza punti comuni: $r$ e $s$ sono sghembe.

(b) Piano per $r$ parallelo a $s$

Con il fascio di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani → di asse $r$:

$$\lambda(2x + y - 3z - 5) + \mu(y - 3) = 0, \qquad n = (2\lambda, \ \lambda + \mu, \ -3\lambda).$$

Il piano è parallelo a $s$ se la normale è ortogonale a $v_s$:

$$n \cdot v_s = 2\lambda + (\lambda + \mu) - 3\lambda = \mu = 0 .$$

Quindi $\mu = 0$ (e $\lambda = 1$): il piano è proprio il primo dei due piani che definiscono $r$,

$$2x + y - 3z - 5 = 0 .$$

Controllo: normale $(2, 1, -3)$, e $(2, 1, -3) \cdot (1, 1, 1) = 0$ ✓; contiene $r$ per costruzione.

A che cosa serve: la distanza tra le rette sghembe è la distanza di un punto qualsiasi di $s$ da questo piano. Con $(-1, 2, 3) \in s$ ($t = 0$): $\frac{|-2 + 2 - 9 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$. Lo ritroviamo in (c).

(c) La perpendicolare comune e i punti di minima distanza

Idea. Si cercano $R \in r$ e $S \in s$ tali che il vettore $S - R$ sia ortogonale a entrambe le rette: la retta per $R$ e $S$ è la perpendicolare comune $\ell$, e $R$, $S$ sono i punti di minima distanza.

Punti generici: $R = (1 + 3a, \ 3, \ 2a)$, $S = (t - 1, \ t + 2, \ t + 3)$, quindi

$$S - R = (t - 3a - 2, \ \ t - 1, \ \ t - 2a + 3).$$

Condizioni:

$$\begin{aligned} (S - R) \cdot v_r &= 3(t - 3a - 2) + 0 + 2(t - 2a + 3) = 5t - 13a = 0, \\ (S - R) \cdot v_s &= (t - 3a - 2) + (t - 1) + (t - 2a + 3) = 3t - 5a = 0. \end{aligned}$$

Sistema omogeneo nelle incognite $a, t$ con determinante $5 \cdot (-5) - (-13) \cdot 3 = -25 + 39 = 14 \ne 0$: solo la soluzione $a = 0$, $t = 0$. (I termini noti si sono cancellati: è una coincidenza dei dati, che rende i conti brevi.)

$$R = (1, 3, 0), \qquad S = (-1, 2, 3), \qquad d(r, s) = \|R - S\| = \|(2, 1, -3)\| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$$

(uguale alla distanza calcolata in (b) ✓).

La retta $\ell$ passa per $R$ con direzione $R - S = (2, 1, -3)$:

$$\ell: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = -3t \end{cases}$$

Controlli: $(2, 1, -3) \cdot (3, 0, 2) = 6 - 6 = 0$ ✓ e $(2, 1, -3) \cdot (1, 1, 1) = 0$ ✓. Inoltre $(2, 1, -3)$ è proporzionale a $v_r \times v_s = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1, \ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1, \ 3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = (-2, -1, 3)$, come deve essere (la direzione della perpendicolare comune è ortogonale a entrambi i direttori).

Errori comuni

• Concludere "incidenti" perché non sono parallele: in $\mathbb{A}^3$ esiste la terza possibilità, sghembe.
• Usare lo stesso parametro per le due rette in (c): $R$ e $S$ variano indipendentemente, servono due parametri ($a$ e $t$).
• Imporre l'ortogonalità solo a una delle due rette: la perpendicolare comune deve essere ortogonale a entrambe (due equazioni per due incognite).