Lezione 16Teorema di Rouché-Capelli ed eliminazione di Gauss

Capitolo 3: Sistemi lineari · Videolezione: n. 16 della playlist ("Lezione 16", 80 min)

Argomenti trattati

1. Teorema di Rouché-Capelli: $AX = B$ ha soluzioni se e solo se $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \mid B)$; le soluzioni dipendono da $n - \operatorname{rango}(A)$ parametri.
2. Operazioni elementari sulle righe (o colonne) di una matrice.
3. Eliminazione di Gauss: riduzione a forma a scala.

Teoria

• Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → — il teorema
• Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → — operazioni elementari e forma a scala

Esercizi sugli stessi argomenti

• Esercizio 41 · sistema 4×4 con due parametri (compitino 2025) — compitino 2025
• Esercizio 42 · rango con parametro e condizione sui termini noti (compitino 2026) — compitino 2026

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