Coordinate rispetto a una base

Fine della lezione 9 e inizio della lezione 13 (videolezioni n. 9 e 13); approfondimento nel video breve Coordinate di un vettore e cambiamenti di base (n. 48 della playlist, 15 min). Prerequisiti: Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi →, Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →. Seguito: Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →, Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → $n$ sul campo $K$ e sia $\mathcal B = \{v_1, \dots, v_n\}$ una base ordinata (conta anche l'ordine dei vettori). Ogni $v \in V$ si scrive in un solo modo come

$$v = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \dots + \lambda_n v_n = \sum_{j=1}^n \lambda_j v_j$$

(l'esistenza viene dal fatto che la base genera $V$, l'unicità dal fatto che i $v_j$ sono indipendenti).

I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in K$ si chiamano coordinate (o componenti) di $v$ rispetto alla base $\mathcal B$. Si scrivono in colonna: $$[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in K^n$$

Perché in colonna: è una convenzione scelta una volta per tutte, che rende naturale il prodotto con le matrici (vedi Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →). Il prof indica la base scrivendone il nome sopra la colonna; qui la scriviamo in basso a destra, $[v]_{\mathcal B}$. Quando nel discorso c'è una sola base si può anche omettere; quando ce ne sono due bisogna indicarla, altrimenti non si capisce di quali coordinate si parla.

Analogia geometrica. Una base è un sistema di riferimento. Chiedere "quali sono le coordinate di questa freccia?" non ha senso finché non si dice rispetto a quali assi. Nel piano, con gli assi dati da $v_1$ e $v_2$, le coordinate di $v$ si trovano tracciando dalla punta di $v$ le parallele ai due assi: i due numeri letti sugli assi sono $\lambda_1$ e $\lambda_2$. Cambiando assi (un'altra base $w_1, w_2$) lo stesso vettore ha coordinate diverse $\mu_1, \mu_2$.

Come si calcolano

In $K^n$ con la base canonica $e_1 = (1, 0, \dots, 0), \dots, e_n = (0, \dots, 0, 1)$ è immediato: le coordinate di $(x_1, \dots, x_n)$ sono proprio $x_1, \dots, x_n$, perché $(x_1, \dots, x_n) = x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$.

Con un'altra base bisogna risolvere un sistema lineare.

Esempio 1. In $\mathbb{R}^2$, coordinate di $v = (3, 1)$ rispetto a $\mathcal B = \{b_1 = (1, 1), \ b_2 = (1, -1)\}$. Si cercano $\lambda_1, \lambda_2$ con $\lambda_1 (1, 1) + \lambda_2 (1, -1) = (3, 1)$:

$$\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 3 \\ \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \end{cases}$$

Sommando le due equazioni $2\lambda_1 = 4$, quindi $\lambda_1 = 2$ e poi $\lambda_2 = 1$. Verifica: $2(1, 1) + 1(1, -1) = (3, 1)$ ✓. Quindi

$$[v]_{\text{canonica}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad [v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

stesso vettore, coordinate diverse.

Esempio 2. In $\mathbb{R}^3$, coordinate di $v = (1, 2, 3)$ rispetto a $\mathcal B = \{(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)\}$. Da $a(1,0,0) + b(1,1,0) + c(1,1,1) = (1, 2, 3)$:

$$\begin{cases} a + b + c = 1 \\ b + c = 2 \\ c = 3 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad c = 3, \quad b = 2 - 3 = -1, \quad a = 1 - (-1) - 3 = -1$$

(il sistema è già "a scala": si risolve dal basso). Quindi $[v]_{\mathcal B} = (-1, -1, 3)$ in colonna. Verifica: $-(1,0,0) - (1,1,0) + 3(1,1,1) = (1, 2, 3)$ ✓.

Esempio 3 (polinomi). Nello spazio $\mathbb{R}_2[x]$ dei polinomi di grado $\le 2$, con la base $\{1, x, x^2\}$, il polinomio $p(x) = 2 - x + 3x^2$ ha coordinate $(2, -1, 3)$: i coefficienti, nell'ordine della base.

L'isomorfismo con $K^n$

La funzione che associa a ogni vettore le sue coordinate,

$$\varphi_{\mathcal B} : V \to K^n, \qquad v \mapsto [v]_{\mathcal B}$$

è ben definita (le coordinate sono uniche) e biiettiva (a ogni vettore una sola colonna, e ogni colonna $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ è la colonna di coordinate di un solo vettore, $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$). In più è lineare:

• se $v = \sum \lambda_j v_j$ e $v' = \sum \lambda'_j v_j$, allora $v + v' = \sum (\lambda_j + \lambda'_j) v_j$, cioè $[v + v']_{\mathcal B} = [v]_{\mathcal B} + [v']_{\mathcal B}$: le coordinate della somma sono la somma delle coordinate;
• $\alpha v = \sum (\alpha \lambda_j) v_j$, cioè $[\alpha v]_{\mathcal B} = \alpha [v]_{\mathcal B}$.

Quindi $\varphi_{\mathcal B}$ è un isomorfismoUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →. Abbiamo dimostrato:

Teorema. Ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ è isomorfo a $K^n$.

Perché è importante. Spazi definiti in modo molto astratto (polinomi, matrici, funzioni…) si comportano, una volta fissata una base, esattamente come $K^n$: chi sa lavorare in $\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \dots, \mathbb{R}^n$ sa lavorare in qualunque spazio vettoriale di dimensione finita. Per esempio, poiché un isomorfismo conserva le combinazioni lineari, dei vettori sono indipendenti se e solo se lo sono le loro colonne di coordinate.

Esempio. I polinomi $p_1 = 1 + x$, $p_2 = x + x^2$, $p_3 = 1 + 2x + x^2$ sono indipendenti? Le coordinate rispetto a $\{1, x, x^2\}$ sono $(1, 1, 0)$, $(0, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$; la terza è la somma delle prime due, quindi le colonne sono dipendenti e anche i polinomi lo sono: infatti $p_3 = p_1 + p_2$.

Conseguenza. Due spazi della stessa dimensione $n$ sono isomorfi tra loro (entrambi sono isomorfi a $K^n$). Il viceversa (spazi isomorfi hanno la stessa dimensione) segue dal teorema in Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →.

L'isomorfismo dipende dalla base

Non esiste un isomorfismo "privilegiato" tra $V$ e $K^n$: ogni scelta di base ne dà uno diverso, e non c'è motivo di preferire una base a un'altra (in $K^n$ la base canonica è la più comoda per i conti, ma in uno spazio astratto non c'è niente di "canonico"). Due persone che scelgono basi diverse associano allo stesso vettore coordinate diverse, come nell'esempio 1. Come si passa dalle une alle altre è l'argomento di Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →.

Errori comuni

• Dimenticare l'ordine della base: con $\mathcal B = \{b_2, b_1\}$ invece di $\{b_1, b_2\}$ le coordinate dell'esempio 1 diventano $(1, 2)$, non $(2, 1)$.
• Scambiare il vettore con le sue coordinate: $(2, 1)$ nell'esempio 1 non è il vettore $v$ (che è $(3, 1)$), è la lista di coefficienti rispetto a $\mathcal B$.
• Scrivere coordinate senza dire rispetto a quale base quando nell'esercizio ce n'è più di una.
• Leggere le coordinate "a occhio" rispetto a una base non canonica: va risolto il sistema.