Sottospazi vettoriali

Lezione 3 (videolezione n. 3). Prerequisito: Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →. Esercizio svolto: Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi. Seguito: Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato →.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$. Un sottoinsieme non vuoto $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$. Questo equivale a chiedere che $W$ sia chiuso per le due operazioni:

1. $w_1, w_2 \in W \Longrightarrow w_1 + w_2 \in W$ (chiuso per la somma);
2. $\lambda \in K$, $w \in W \Longrightarrow \lambda w \in W$ (chiuso per il prodotto per scalari).

Perché bastano queste due condizioni. Le proprietà associativa, commutativa, distributive ecc. valgono per tutti i vettori di $V$, quindi anche per quelli di $W$. Quello che non è automatico è che i risultati delle operazioni restino dentro $W$: se $w_1, w_2 \in W$, la somma $w_1 + w_2$ sta certamente in $V$ (che è uno spazio vettoriale), ma potrebbe uscire da $W$. Il vettore nullo e gli opposti poi arrivano gratis dalla condizione 2: $0 \cdot w = \vec 0$ e $(-1) w = -w$.

Un'analogia con i numeri. Nei naturali, i pari sono chiusi per la somma (pari + pari = pari), i dispari no ($3 + 5 = 8$ non è dispari). Per i sottoinsiemi di uno spazio vettoriale succede la stessa cosa: alcuni sono chiusi, altri no, e va verificato.

Le due condizioni si possono unire in una sola: $W$ è un sottospazio se e solo se $$\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 \in W \quad \forall w_1, w_2 \in W,\ \forall \lambda_1, \lambda_2 \in K,$$ cioè se è chiuso per combinazioni lineari.

Il test veloce: il vettore nullo

Ogni sottospazio contiene $\vec 0$ (perché $\vec 0 = 0 \cdot w$ con $w \in W$). Quindi:

se $\vec 0 \notin W$, allora $W$ non è un sottospazio.

Il viceversa è falso: contenere $\vec 0$ non basta (si vedano la parabola e il primo quadrante qui sotto).

Esempi in $\mathbb{R}^2$

1. La retta $3a - 2b = 0$ è un sottospazio. Sia $W = \{(a, b) \in \mathbb{R}^2 : 3a - 2b = 0\}$.

Chiusura per la somma. Siano $w_1 = (a_1, b_1)$ e $w_2 = (a_2, b_2)$ in $W$, cioè $3a_1 - 2b_1 = 0$ e $3a_2 - 2b_2 = 0$ (sono le ipotesi). La somma è $w_1 + w_2 = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$ e bisogna controllare se soddisfa l'equazione:

$$3(a_1 + a_2) - 2(b_1 + b_2) = \underbrace{(3a_1 - 2b_1)}_{=0} + \underbrace{(3a_2 - 2b_2)}_{=0} = 0 \ \checkmark$$

(si sono solo riordinati gli addendi con le proprietà associativa e commutativa).

Chiusura per il prodotto. Se $(a, b) \in W$ e $\lambda \in \mathbb{R}$: $3(\lambda a) - 2(\lambda b) = \lambda (3a - 2b) = \lambda \cdot 0 = 0$ ✓.

Quindi $W$ è un sottospazio. Geometricamente è la retta $y = \frac32 x$, che passa per l'origine.

2. La retta $a - 2b = 3$ non è un sottospazio: $(0, 0)$ non la soddisfa ($0 - 0 = 0 \ne 3$). È una retta che non passa per l'origine.

3. La parabola $a^2 - b = 0$ non è un sottospazio, anche se contiene $(0, 0)$. Presi $(a_1, b_1)$ e $(a_2, b_2)$ con $a_1^2 = b_1$ e $a_2^2 = b_2$:

$$(a_1 + a_2)^2 - (b_1 + b_2) = \underbrace{(a_1^2 - b_1)}_{=0} + \underbrace{(a_2^2 - b_2)}_{=0} + 2 a_1 a_2 = 2 a_1 a_2,$$

che in generale non è $0$. Esempio concreto: $(1, 1)$ e $(2, 4)$ stanno sulla parabola, la somma $(3, 5)$ no ($9 \ne 5$). Il colpevole è il termine quadratico $a^2$: le equazioni che danno sottospazi sono quelle lineari omogenee.

4. Il primo quadrante $\{(a, b) : a \ge 0, b \ge 0\}$ non è un sottospazio. Contiene $(0, 0)$ ed è chiuso per la somma (somma di numeri $\ge 0$ è $\ge 0$), ma non per il prodotto per scalari: $(3, 2)$ gli appartiene, $(-1) \cdot (3, 2) = (-3, -2)$ no. Manca l'opposto.

Dettagli di tutti e quattro i casi: Esercizio 3 · quali sottoinsiemi di R2 sono sottospazi.

Tutti i sottospazi di $\mathbb{R}^2$

Gli unici sottospazi di $\mathbb{R}^2$ sono:

• $\{\vec 0\}$, il sottospazio nullo (chiuso perché $\vec 0 + \vec 0 = \vec 0$ e $\lambda \vec 0 = \vec 0$);
• le rette passanti per l'origine;
• tutto $\mathbb{R}^2$.

In $\mathbb{R}^3$: $\{\vec 0\}$, rette per l'origine, piani per l'origine, $\mathbb{R}^3$. È il motivo del nome "algebra lineare": i sottospazi sono gli oggetti "piatti" (rette, piani e loro analoghi) che passano per l'origine. La dimostrazione arriva con il concetto di DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione →.

La regola pratica: equazioni lineari omogenee

L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee (di primo grado, con termine noto $0$) in $x_1, \dots, x_n$ è sempre un sottospazio di $K^n$. Il ragionamento è identico all'esempio 1: ogni equazione è del tipo $c_1 x_1 + \dots + c_n x_n = 0$, e se due vettori la soddisfano la soddisfano anche la somma e i multipli.

Errori comuni

• Verificare la chiusura su due vettori particolari (per esempio $(1, 1)$ e $(2, 3)$): la proprietà va dimostrata per tutti i vettori di $W$, con componenti generiche. Un esempio numerico basta solo per dimostrare che non è un sottospazio (controesempio).
• Fermarsi a "contiene $\vec 0$": è necessario ma non sufficiente.
• Dimenticare il prodotto per scalari negativi: il primo quadrante è chiuso per la somma ma non per $\lambda = -1$.